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Si l’on retranche l’une de l’autre, après y avoir mis $\rho '\varphi (x',y',z')$ à la place de $\varphi (x',y',z'),$ et que l’on différentie le résultat par rapport à $t,$ il vient

${\begin{aligned}&2\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\varphi (x',y',z')\cos .\rho at\sin .\rho \rho '.\rho \rho 'd\rho \,d\rho '=\\&\pi {\frac {d.}{dt}}t\varphi \left(x+at\cos .\theta ',y+at\sin .\theta '\sin .\omega ',z+at\sin .\theta '\cos .\omega '\right).\end{aligned}}$

(9)

On a en outre

$\int _{0}^{\infty }\sin .\rho (\rho '+at){\frac {d\rho }{\rho }}={\frac {1}{2}}\pi ,\qquad \int _{0}^{\infty }\sin .\rho (\rho '-at){\frac {d\rho }{\rho }}=\pm {\frac {1}{2}}\pi ,$

en prenant le signe supérieur ou le signe inférieur selon que $\rho '-at$ est positif ou négatif. On conclut de là

$2\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\varphi (x',y',z')\cos .\rho at\sin .\rho \rho '{\frac {d\rho \,d\rho '}{\rho \rho '}}={\frac {1}{2}}\pi \int _{0}^{\infty }\varphi (x',y',z'){\frac {d\rho '}{\rho '}}$

$-{\frac {1}{2}}\pi \int _{0}^{at}\varphi (x',y',z'){\frac {d\rho '}{\rho '}}+{\frac {1}{2}}\pi \int _{at}^{\infty }\varphi (x',y',z'){\frac {d\rho '}{\rho '}},$

ou, ce qui est la même chose,

$2\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\varphi (x',y',z')\cos .\rho at\sin .\rho \rho '{\frac {d\rho \,d\rho '}{\rho \rho '}}=\pi \int _{at}^{\infty }\varphi (x',y',z'){\frac {d\rho '}{\rho '}}.$

(10)

Au moyen des équations (8), (9), (10), les formules (7) deviennent