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En regardant $g$ comme une quantité infiniment petite, qu’on fera tout-à-fait nulle à la fin du calcul, on en conclura

${\begin{aligned}\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\varphi (x',y',z')\cos .\rho (\rho '+at)d\rho \,d\rho '&=\int _{0}^{\infty }{\frac {g\varphi (x',y',z')}{g^{2}+(\rho '+at)^{2}}}d\rho ',\\\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\varphi (x',y',z')\cos .\rho (\rho '-at)d\rho \,d\rho '&=\int _{0}^{\infty }{\frac {g\varphi (x',y',z')}{g^{2}+(\rho '-at)^{2}}}d\rho '.\end{aligned}}$

Lorsque $at$ aura une valeur finie, la première de ces intégrales simples s’évanouira avec $g\,;$ la seconde n’aura de valeurs différentes de zéro, que pour des valeurs de $\rho '$ infiniment peu différentes de $at\,;$ en faisant donc

$\rho '=at+\eta ,\qquad d\rho '=d\eta ,$

on y pourra considérer la variable $\eta$ comme infiniment petite, positive ou négative. Ainsi, l’on aura

${\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\varphi (x',y',z')\cos .\rho (\rho '+at)d\rho \,d\rho '=0,\\&\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\varphi (x',y',z')\cos .\rho (\rho '-at)d\rho \,d\rho '=\\&\varphi \left(x+at\cos .\theta ',y+at\sin .\theta '\sin .\omega ',z+at\sin .\theta '\cos .\omega '\right)\int {\frac {gd\eta }{g^{2}+\eta ^{2}}},\end{aligned}}$

en ayant égard aux valeurs de $x',y',z'.$ À cause de $g$ infiniment petit, cette dernière intégrale est égale à $\pi ,$ quelles que soient ses limites, l’une positive et l’autre négative. En ajoutant les deux équations précédentes, on aura donc

${\begin{aligned}&2\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }\varphi (x',y',z')\cos .\rho at\cos .\rho \rho 'd\rho \,d\rho '=\\&\pi \varphi \left(x+at\cos .\theta ',y+at\sin .\theta '\sin .\omega ',z+at\sin .\theta '\cos .\omega '\right).\qquad \end{aligned}}$

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