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Telles sont donc les intégrales complètes des équations (2) qu’il s’agissait d’obtenir. Leur forme est moins simple que celle des intégrales que j’ai trouvées pour les mêmes équations, dans l’Addition à mon Mémoire sur l’équilibre et le mouvement des corps élastiques^[1] ; mais elles ont l’avantage d’être symétriques par rapport aux trois inconnues $u,v,w,$ et aux variables $x,y,z\,;$ et les fonctions arbitraires qu’elles renferment sont les valeurs initiales de $u,v,w,$ ${\frac {du}{dt}},{\frac {dv}{dt}},$ ${\frac {dw}{dt}}$ ^[2]. En effet, on vérifie immédiatement que les valeurs

↑ Tome VIII de cette collection, page 623.
↑ Depuis que ce Mémoire est écrit, M. Ostrograski, de l’Académie de Saint-Pétersbourg, m’a communiqué d’autres intégrales des équations (2) qu’il a présentées à cette Académie. Ces intégrales sont :
${\begin{aligned}4\pi u={\frac {d.}{dt}}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }f\left(x+bt\cos .\theta ,y+bt\sin .\theta \sin .\omega ,\right.&\\\left.z+bt\sin .\theta \cos .\omega \right)&t\sin .\theta \,d\theta \,d\omega +{\frac {dq}{dx}},\\4\pi v={\frac {d.}{dt}}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }f'\left(x+bt\cos .\theta ,y+bt\sin .\theta \sin .\omega ,\right.&\\\left.z+bt\sin .\theta \cos .\omega \right)&t\sin .\theta \,d\theta \,d\omega +{\frac {dq}{dy}},\\4\pi w={\frac {d.}{dt}}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }f''\left(x+bt\cos .\theta ,y+bt\sin .\theta \sin .\omega ,\right.&\\\left.z+bt\sin .\theta \cos .\omega \right)&t\sin .\theta \,d\theta \,d\omega +{\frac {dq}{dz}},\end{aligned}}$

en les réduisant à la partie dépendante des fonctions $f,f',f'',$ et faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}q=&\int _{bt}^{at}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\left[{\frac {d.}{dx}}f(x+\rho \cos .\theta ,y+\rho \sin .\theta \sin .\omega ,z+\rho \sin .\theta \cos .\omega )+\right.\\&{\frac {d.}{dy}}f'(x+\rho \cos .\theta ,y+\rho \sin .\theta \sin .\omega ,z+\rho \sin .\theta \cos .\omega )+\\&\left.{\frac {d.}{dz}}f''(x+\rho \cos .\theta ,y+\rho \sin .\theta \sin .\omega ,z+\rho \sin .\theta \cos .\omega )\right]\rho \sin .\theta \,d\rho \,d\theta \,d\omega .\end{aligned}}$

[1] Tome VIII de cette collection, page 623.

[2] Depuis que ce Mémoire est écrit, M. Ostrograski, de l’Académie de Saint-Pétersbourg, m’a communiqué d’autres intégrales des équations (2) qu’il a présentées à cette Académie. Ces intégrales sont :
${\begin{aligned}4\pi u={\frac {d.}{dt}}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }f\left(x+bt\cos .\theta ,y+bt\sin .\theta \sin .\omega ,\right.&\\\left.z+bt\sin .\theta \cos .\omega \right)&t\sin .\theta \,d\theta \,d\omega +{\frac {dq}{dx}},\\4\pi v={\frac {d.}{dt}}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }f'\left(x+bt\cos .\theta ,y+bt\sin .\theta \sin .\omega ,\right.&\\\left.z+bt\sin .\theta \cos .\omega \right)&t\sin .\theta \,d\theta \,d\omega +{\frac {dq}{dy}},\\4\pi w={\frac {d.}{dt}}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }f''\left(x+bt\cos .\theta ,y+bt\sin .\theta \sin .\omega ,\right.&\\\left.z+bt\sin .\theta \cos .\omega \right)&t\sin .\theta \,d\theta \,d\omega +{\frac {dq}{dz}},\end{aligned}}$

en les réduisant à la partie dépendante des fonctions $f,f',f'',$ et faisant, pour abréger,

${\begin{aligned}q=&\int _{bt}^{at}\int _{0}^{\pi }\int _{0}^{2\pi }\left[{\frac {d.}{dx}}f(x+\rho \cos .\theta ,y+\rho \sin .\theta \sin .\omega ,z+\rho \sin .\theta \cos .\omega )+\right.\\&{\frac {d.}{dy}}f'(x+\rho \cos .\theta ,y+\rho \sin .\theta \sin .\omega ,z+\rho \sin .\theta \cos .\omega )+\\&\left.{\frac {d.}{dz}}f''(x+\rho \cos .\theta ,y+\rho \sin .\theta \sin .\omega ,z+\rho \sin .\theta \cos .\omega )\right]\rho \sin .\theta \,d\rho \,d\theta \,d\omega .\end{aligned}}$

[1]

[2]