Page:Mémoires de l’Académie des sciences, Tome 12.djvu/380

et, par conséquent,

${\frac {d^{2}f}{dydz}}-{\frac {d^{2}f_{2}}{dydx}}=0\,;$

d’où l’on conclut

${\frac {df}{dz}}-{\frac {df_{2}}{dx}}=\zeta ,$

en désignant par $\zeta ,$ une quantité indépendante de $y.$ Il s’ensuit donc que si la différence ${\frac {df}{dz}}-{\frac {df_{2}}{dx}}$ est nulle pour une valeur particulière de $y,$ elle le sera pour toute autre valeur ; en sorte que l’équation $\mathrm {H} =0$ étant identique, il suffit que l’équation ${\frac {df}{dz}}={\frac {df_{2}}{dx}},$ ou $\mathrm {K} =0,$ se vérifie seulement pour $y=0\,;$ conclusion qui s’accorde avec celle du numéro précédent.

L’équation (12) devient, dans le cas que nous examinons,

$\int _{0}^{1}\left[f_{1}(x,yu,z)-f_{1}(x,yu,0)\right]ydu$

$=\int _{0}^{1}\left[f_{2}(x,yu,zu)-f_{2}(x,0,zu)\right]zdu,$

ou, ce qui est la même chose,

$\int _{0}^{y}\left[f_{1}(x,y,z)-f_{1}(x,y,0)\right]dy$

$=\int _{0}^{z}\left[f_{2}(x,y,z)-f_{2}(x,0,z)\right]dz.$

Je la différentie par rapport à $y\,;$ et en remplaçant sous le signe $\int$ du second membre, par ${\frac {df_{2}}{dy}}$ par ${\frac {df_{1}}{dy}},$ ce qui est permis, puisque ces deux quantités sont égales par hypothèse, il vient

$f_{1}(x,y,z)-f_{1}(x,y,0)=\int _{0}^{z}{\frac {df_{1}(x,y,z)}{dz}}dz\,;$