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et ensuite

$\mathrm {U} =\operatorname {F} (v,t,w,{\text{etc}}.)\,;$

$\mathrm {F}$ indiquant aussi une fonction donnée de $v,t,w,$ etc. Si nous représentons ses différences partielles par

$g={\frac {d\operatorname {F} }{dv}},\qquad h={\frac {d\operatorname {F} }{dt}},\qquad k={\frac {d\operatorname {F} }{dw}},{\text{ etc}}.,\qquad$(13)

nous aurons, pour sa variation complète,

$d\mathrm {U} =g\delta v+h\delta t+k\delta w+$etc. ;

d’où l’on conclut que pour former les équations relatives au maximum ou au minimum d’une fonction donnée de plusieurs intégrales $v,\,t,\,w,\,$ etc., il faudra prendre les sommes des équations homologues, qui répondent aux maxima ou minima de $v,\,t,\,w,\,$ etc., après les avoir multipliées respectivement par les constantes $g,\,h,\,k,\,$ etc. On considérera ces constantes comme des inconnues que l’on détermineral en même temps que $x_{0},\,x_{1}$ et les constantes arbitraires, en joignant aux conditions relatives aux limites $x_{0}$ et $x_{1},$ les équations (13) qui sont en même nombre que ces nouvelles inconnues $g,\,h,\,k,\,$ etc.

Cette solution générale renferme, comme cas particulier, celle du problème des isopérimètres, pris dans son acception la plus étendue. En effet, si l’on désigne par $a,\,b,$ etc., des constantes quelconques, et qu’on prenne

$\mathrm {U} =v+at+bw+$etc.,

il est évident que les expressions de $y$ et $z$ qui rendront cette somme un maximum ou un minimum absolu, c’est-à-dire,