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étant nulles, l’équation (7) s’évanouira ; les équations (8) qu’on en avait déduites n’auront plus lieu ; et elles seront remplacées par les équations (9), données dans chaque problème, et par l’une des deux équations $p=z'$ ou $q=z_{_{'}}.$

2^o La courbe extérieure étant toujours fixe et donnée, d’où il résultera $\varepsilon =0$ et $\omega =0,$ supposons que la seconde limite de $\mathrm {U}$ ne soit astreinte à aucune autre condition. L’équation $\omega =0$ ne pourra plus être différentiée que suivant la direction de la courbe donnée ; on aura alors

${\frac {d\omega }{ds}}=0,\qquad \omega '=-\theta {\frac {dy}{ds}},\qquad \omega _{_{'}}=\theta {\frac {dx}{ds}}\,;$

et le facteur $\theta$ restant indéterminé, il faudra qu’on ait $\mathrm {Z} =0,$ pour satisfaire à l’équation (7) réduite à son dernier terme.

Dans ce second cas, la troisième équation (8) subsistera donc ; et les deux premières seront remplacées, comme dans le cas précédent, par les deux équations données de la courbe extérieure.

3^o Si cette courbe n’est pas fixe, mais qu’elle soit seulement assujétie à se trouver sur une surface donnée qui aura pour équation

$\operatorname {F} (x,y,z)=0,\qquad \qquad$(10)

il faudra que les coordonnées $x,\,y,\,z,$ d’un point quelconque de cette courbe, et les quantités correspondantes $x+\delta x,\,y+\delta y,\,z+\delta z,$ satisfassent successivement à cette équation. On pourra donc la différentier par rapport à la caractéristique $\delta \,;$ et en représentant sa différentielle ordinaire par

$dz=p\,dx+q\,dz,$

on aura, en même temps,