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$\delta z=p\,\delta x+q\,\delta y\,;$

par conséquent, la variation $\omega$ aura pour valeur

$\omega =(p-z')\delta x+(q-z_{_{'}})\delta y.$

Je suppose, en outre, que la surface demandée doive être tangente à la surface donnée, dans toute l’étendue de la courbe extérieure. Il en résultera les deux conditions $p=z'$ et $q=z_{_{'}},$ dont l’une sera une suite de l’autre, d’après ce qui a été dit dans le premier cas. Elles rendront nulle la valeur précédente de $\omega$ pour tous les points d’une zone infiniment étroite, comprenant la courbe extérieure ; d’où l’on conclura $\theta =0,$ comme dans le premier cas. Les variations $\omega$ et $\theta$ étant nulles, l’équation (7) se réduira à son premier terme ; et pour qu’elle ait lieu quelle que soit la variation $\varepsilon$ qui reste arbitraire, il faudra qu’on ait $\mathrm {V} =0,$ ou plutôt

$\mathrm {V} +c(kp-hq)=0,\qquad \qquad$(11)

si l’on suppose, comme dans le numéro précédent, que la valeur d’une certaine intégrale $\int \mathrm {W} \,dz$ soit donnée.

Donc, dans ce troisième cas, les équations (8) seront remplacées par les équations (10) et (11), jointes à l’une des deux équations $p=z'$ et $q=z_{_{'}}.$

4^o La courbe extérieure étant toujours astreinte à se trouver sur la surface donnée par l’équation (10), mais le plan tangent à la surface demandée, n’étant assujéti à aucune condition le long de cette courbe, l’expression de $\omega$ du cas précédent aura encore lieu, sans qu’il en résulte aucune limitation de la quantité $\theta$ qui restera tout-à-fait ar-