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et si l’on représente par $\zeta$ une nouvelle inconnue, on pourra la remplacer par le système de ces deux équations du second ordre :

$z''+z_{_{''}}=\zeta ,\qquad \zeta ''+\zeta _{_{''}}=c\,\zeta ,\qquad \qquad$(a)

En vertu de ces valeurs de $\mathrm {R,S,T} ,$ la quantité $\mathrm {Z}$ du n^o 24, sera égale à $2\zeta \,;$ pour fixer les idées, je supposerai que les limites de la surface élastique en équilibre soient des courbes fixes et données, mais que le plan tangent à cette surface ne soit assujéti à aucune condition le long de ces courbes ; d’où il résultera, d’après le second cas du n^o 26, qu’on devra joindre aux deux équations de chaque courbe limite, l’équation $\mathrm {Z} =0$ ou $\zeta =0,$ pour former les deux systèmes d’équations simultanées qui serviront, avec l’aire donnée de la lame élastique, à déterminer la constante c et les fonctions arbitraires contenues dans les intégrales des équations (a). Cette aire devra différer très-peu de sa projection sur le plan des $x$ et $y\,;$ et en désignant cette projection par $\lambda$ et l’aire de la lame élastique par $\lambda (1+g),$ de sorte que $g$ soit une fraction positive et très-petite, on aura

$\lambda (1+g)=\iint {\sqrt {1+z'^{2}+z_{_{'}}^{2}}}\,dx\,dy,$

ou bien, au degré d’approximation où l’on s’est arrêté,

$\lambda \,g)={\frac {1}{2}}\iint \left(z'^{2}+z_{_{'}}^{2}\right)dx\,dy,\qquad \qquad$(b)

(30) On peut donner une forme différente à ces équations (a) et (b), en transformant les coordonnées rectangulaires $x$ et $y$ en coordonnées polaires. Soit $r$ le rayon vecteur de la projection d’un point quelconque de la surface, sur le plan des $x$ et $y,$ et $\theta$ l’angle que ce rayon fait avec l’axe des $x,$