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et si l’on fait $\alpha ={\frac {1+{\sqrt {5}}}{2}},\,\beta ={\frac {1-{\sqrt {5}}}{2}},$ ces trois valeurs seront

$p=-1,\quad p=\alpha ^{2},\quad p=\beta ^{2}\,;$

cela posé, l’intégrale complète de l’équation proposée sera

$\varphi (n)\qquad {\text{ou}}\qquad (c_{_{n}})^{2}=\mathrm {L} \alpha ^{_{2n}}+\mathrm {M} \beta ^{_{2n}}+\mathrm {N} (-1)^{n}.$

Pour déterminer les coefficients $\mathrm {L,M,N} ,$ il faut faire successivement $n=0,\,n=1,\,n=2,$ ce qui donne les valeurs $(c_{_{0}})^{2}=c^{2},$ $(c_{_{1}})^{2}=2c^{2}+2b^{2}-a^{2},$ $(c_{_{2}})^{2}=6c^{2}+3b^{2}-2a^{2}\,;$ on aura donc à résoudre les équations

${\begin{aligned}c^{2}=&\mathrm {L+M+N} \\2c^{2}+2b^{2}-a^{2}\ \ =&\mathrm {L\alpha ^{2}+M\beta ^{2}-N} \\6c^{2}+3b^{2}-2a^{2}=&\mathrm {L\alpha ^{4}+M\beta ^{4}+N} ,\end{aligned}}$

et il en résulte les valeurs suivantes des coefficients

${\begin{aligned}\mathrm {L} =&{\frac {1}{5}}\left(c^{2}\alpha ^{3}+b^{2}\alpha ^{2}-a^{2}\alpha \right)\\\mathrm {M} =&{\frac {1}{5}}\left(c^{2}\beta ^{3}+b^{2}\beta ^{2}-a^{2}\beta \right)\\\mathrm {N} =&{\frac {1}{5}}\left(c^{2}-3b^{2}+a^{2}\right).\end{aligned}}$

On connaîtra donc le carré du côté $c_{_{n}},$ du triangle $\mathrm {A} ^{_{n}}\mathrm {B} ^{_{n}}\mathrm {C} ^{_{n}},$ par la formule

$(c_{_{n}})^{2}=\mathrm {L} \alpha ^{_{2n}}+\mathrm {M} \beta ^{_{2n}}+\mathrm {N} (-1)^{n}.$

Les deux autres côté $b_{_{n}}$ et $a_{_{n}}$ du même triangle se trouveront par les valeurs $b_{_{n}}=c_{_{n-1}},\,a_{_{n}}=c_{_{n-2}},$ qui donnent

${\begin{aligned}(b_{_{n}})^{2}=&\mathrm {L} \alpha ^{_{2n-2}}+\mathrm {M} \beta ^{_{2n-2}}-\mathrm {N} (-1)^{n}\\(a_{_{n}})^{2}=&\mathrm {L} \alpha ^{_{2n-4}}+\mathrm {M} \beta ^{_{2n-4}}+\mathrm {N} (-1)^{n}.\end{aligned}}$

Si on veut ensuite connaître l’angle $\mathrm {C} ^{_{n}}$ du triangle $\mathrm {A} ^{_{n}}\mathrm {B} ^{_{n}}\mathrm {C} ^{_{n}}$ on aura la formule

$\cos .\mathrm {C} ^{_{n}}={\frac {(a_{_{n}})^{2}+(b_{_{n}})^{2}-(c_{_{n}})^{2}}{2a_{_{n}}b_{_{n}}}}.$