base est et par conséquent serait double du biangle droit dont la base est moitié de Il suit de là que le biangle oblique qui est équivalent au biangle droit dont la base est est équivalent aussi au biangle droit dont la base est Or, deux biangles droits égaux doivent avoir des bases égales. Donc 1o la perpendiculaire est égale à
Nous avons élevé perpendiculaire à jusqu’à la rencontre de et nous avons prouvé que doit être égale à si par le point nous élevions de même une perpendiculaire à jusqu’à la rencontre de il faudra que cette perpendiculaire, que nous désignerons par soit égale aussi à mais il est visible que cette seconde droite si elle ne se confondait pas avec la perpendiculaire serait une oblique plus grande que et par conséquent plus grande que Donc, pour qu’elle soit égale à il faut nécessairement qu’elle se confonde avec donc 2o la même droite est perpendiculaire à la fois aux deux parallèles
20. Cette démonstration établit d’une manière très-simple et très-rigoureuse une propriété essentielle des parallèles dont on a naturellement l’idée sans aucune étude préliminaire ; car on ne peut guère concevoir deux parallèles sans se les représenter comme deux lignes qui conservent la même distance entre elles, quand même elles seraient prolongées à l’infini ; et on conçoit en même temps que cette distance, qui est partout la même, est mesurée par une droite perpendiculaire à la fois aux deux parallèles.
Ce principe étant une fois démontré, toute la théorie des
