Cette cinquième équation se forme, comme on peut le voir, d’une première partie qui exprime la distribution de la chaleur dans les masses solides : elle coïncide en cette partie avec l’équation générale que j’ai donnée dans mes premiers Mémoires en 1807, et elle contient de plus les termes qui dépendent du déplacement des molécules.
Dans la première partie de notre démonstration, nous avons rappelé celle des équations qui expriment le mouvement de la chaleur dans l’intérieur des solides et à leur surface. Si l’on examine ces questions avec toute l’attention qu’elles exigent on reconnaîtra, comme nous l’avons dit plusieurs fois, que les principes mathématiques de la théorie de la chaleur ne sont ni moins clairs ni moins rigoureusement démontrés que ceux des théories dynamiques ; qu’ils sont féconds en applications utiles, et que les résultats sont exactement conformes à ceux des expériences ; enfin que ces principes sont indépendants de toute hypothèse physique sur la nature de la chaleur.
C’est dans les écrits de Newton que l’on trouve les premières vues sur la théorie mathématique de la chaleur. Ensuite l’Académie des sciences de Paris n’a cessé de diriger sur cet objet l’attention des géomètres. Amontons avait fait la première expérience propre à éclairer la question de la propagation de la chaleur. Cette question fut proposée comme sujet d’un prix pour l’année 1788. La collection de nos Mémoires contient, outre la pièce couronnée, dont l’auteur est Euler, deux autres pièces qui furent approuvées et publiées, comme remplies de vues et de faits très-bien exposés : ce sont les termes du rapport. L’une est de Mme Émilie du Châtelet, l’autre de Voltaire. Je ne citerai point ici les
