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ce rapport, ou en supposant la mer, un fluide infiniment rare. Cela revient à négliger les termes qui ont pour dénominateur ${\frac {4}{3}}\pi .\int \rho .d.a^{3},$ et qui n’ont pas $\rho$ au numérateur, dans l’équation $(4)$ qui donne alors, en ne négligeant, pour plus d’exactitude, que le terme dépendant de $\mathrm {V} '',$

${\begin{aligned}\alpha \,y'={\text{Const}}.-\alpha {\overline {y}}&+{\frac {3\alpha }{\int \rho .d.a^{3}}}\int \rho .d.\left({\frac {a^{4}\mathrm {Y} ^{(1)}}{3}}+{\frac {a^{5}\mathrm {Y} ^{(2)}}{5}}+{\frac {a^{6}\mathrm {Y} ^{(3)}}{7}}+{\text{etc}}.\right),\\&+{\frac {3\alpha }{\int \rho .d.a^{3}}}\mathrm {\left({\frac {Y^{'(1)}}{3}}+{\frac {Y^{'(2)}}{5}}+etc.\right)} ,\\&-{\frac {\alpha \varphi }{2}}.\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right).\end{aligned}}$

En substituant pour $y'$ et ${\overline {y}},$ leurs valeurs $\mathrm {Y} ^{'(0)}+\mathrm {Y} ^{'(1)}+$ etc, $\mathrm {{\overline {Y}}^{(1)}+{\overline {Y}}^{(2)}} +$ etc, et comparant les termes semblables ; on aura généralement

$\mathrm {Y} ^{'(1)}.\left(1-{\frac {3}{{\overline {2i+1}}.\int \rho .d.a^{3}}}\right)=-{\overline {\mathrm {Y} }}^{(1)}+{\frac {3.\int \rho .d.\left(a^{i+3}.\mathrm {Y} ^{(i)}\right)}{(2i+1).\int \rho .d.a^{3}}}.$

Dans le cas de $i=2,$ il faut ajouter au second membre de cette équation, le terme $-{\frac {\alpha \varphi }{2}}.\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right).$ L’équation $(6),$ dans laquelle rien n’est négligé, donnera ensuite la pesanteur $p$ à la surface de la mer.

Les expériences du pendule font voir que $\mathrm {Y^{(3)},Y^{(4)}} ,$ etc, $\mathrm {{\overline {Y}}^{(3)},{\overline {Y}}^{(4)}} ,$ sont des quantités très-petites relativement à $\mathrm {Y} ^{(2)}$ et $\mathrm {\overline {Y}} ^{(2)}$ et que ces deux dernières fonctions se réduisent à fort-peu-près aux suivantes, $-h.\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right),$ et $-{\overline {h}}.\left(\mu ^{2}-{\frac {1}{3}}\right),$ $h$ et ${\overline {h}}$ étant des constantes ; ce qui donne aux couches du sphéroïde terrestre, la figure d’un ellipsoide de révolution.