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Les valeurs $h,h',h'',\ldots$ sont en nombre $n,$ et égales aux $n$ racines de l’équation algébrique du $n$^e degré en $h,$ qui a, comme on le verra plus bas, toutes ses racines réelles. Les coëfficients de la première équation $a,a',a'',\ldots$ sont arbitraires. Quant aux coëfficients des lignes inférieures, ils sont déterminés par un nombre $n$ de systèmes d’équations semblables aux équations précédentes. Il s’agit maintenant de former et de résoudre ces équations.

Écrivant la lettre $q$ au lieu de ${\frac {hm}{\mathrm {K} }},$ on aura les équations suivantes :

${\begin{aligned}a_{0}&=a_{0}=a_{1},\\a_{1}&=a_{1},\\a_{2}&=a_{1}(q+2)-a_{0},\\a_{3}&=a_{2}(q+2)-a_{1},\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\a_{n+1}&=a_{n}(q+2)-a_{n-1}.\end{aligned}}$

On voit que ces quantités appartiennent à une série récurrente dont l’échelle de relation a les deux termes $q+2$ et $-1\,;$ on pourra donc exprimer le terme général $a_{m}$ par l’équation

$a_{m}=\mathrm {A} \sin .mu+\mathrm {B} \sin .(m-1)u,$

en déterminant convenablement les quantités $\mathrm {A,\,B} ,$ et $u.$ On trouvera d’abord $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B} ,$ en supposant $m$ égal à $0$ et ensuite égal à $1,$ ce qui donne $a_{0}=-\mathrm {B} \sin .u$ et $a_{1}=\mathrm {A} \sin .u\,;$ et par conséquent

$a_{m}={\frac {a_{1}}{\sin .u}}\sin .mu-{\frac {a_{1}}{\sin .u}}\sin .(m-1)u$