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En substituant ensuite les valeurs de $a_{m},\,a_{m-1},\,a_{m-2},$ etc, dans l’équation générale

$a_{m}=a_{m-1}(q+2)-a_{m-2},$

on trouvera

$\sin .mu=(q+2)\sin .(m-1)u-\sin .(m-2)u.$

En comparant cette équation à celle-ci,

$\sin .mu=2\cos .u.\sin .(m-1)u-\sin .(m-2)u,$

qui exprime une propriété connue des sinus d’arcs en progression arithmétique, on en conclut $q+2=2\cos .u,$ ou

$q=-2\sin .\mathrm {v} .u.$

Il ne reste plus qu’a déterminer la valeur de l’arc $u.$

La valeur générale de $a_{m}$ étant

${\frac {a_{1}}{\sin .u}}\left[(\sin .mu-\sin .(m-1)u\right],$

on aura, pour satisfaire à la condition $a_{n+1}=a_{n},$ l’équation

$sin(n+1)u-\sin .nu=\sin .nu-\sin .(n-1)u.$

ou$\qquad \qquad \qquad (\cos .u-1)\sin .nu=0\,;$

d’où l’on tire $\sin .nu=0,$ ou $u=i{\frac {\pi }{n}},$ $\pi ,$ étant la demi-circonférence, et $i$ un nombre entier quelconque $0,\,1,\,2,\,3,\,4,\ldots n-1.$ On en peut déduire les $n$ valeurs de $q$ ou ${\frac {hm}{\mathrm {K} }}:$ ainsi toutes les racines de l’équation en $h$ qui donnent