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soit de cette distance, que je représente par $x,$ elle peut toujours être mise sous la forme $Ax+Bx^{2}z+Cx^{3}+\&c.,$ puisqu’elle doit être nulle quand $xs=0\,:$ or, si l’on suppose les excursions des molécules très-petites par rapport à l’étendue des sphères d’activité des forces attractives et répulsives on pourra négliger devant $Ax$ tous les autres termes du développement, et regarder la force accélératrice, comme sensiblement proportionnelle à la distance $x$. Cette hypothèse, indiquée par l’analogie, et la plus simple que l’on puisse faire sur les vibrations des particules éclairantes, doit nous conduire à des résultats exacts, puisqu’on ne remarque pas que les lois de la lumière varient avec son intensité.

Si l’on représente par $v$ la vîtesse d’oscillation d’une molécule éclairante au bout d’un temps $t,$ on aura donc $dv=-Ax\,dt\,;$ mais $v={\frac {dx}{dt}},$ ou $dt={\frac {dx}{v}}.$ Substituant dans la première équation on trouve, $v\,dv=-Ax\,dx.$ Intégrant, on a, $v^{2}=C-Ax^{2}\,;$ d’où

$x=-{\sqrt {\frac {C-v^{2}}{A}}}.$

Substituant cette valeur de $x$ dans la première équation, on a

$dt={\frac {dv}{\sqrt {A\left(C-v^{2}\right)}}}\,;$

intégrant, $t=C'+{\frac {1}{\sqrt {A}}}\operatorname {arc} \left(\sin ={\frac {v}{\sqrt {C}}}\right).$

Si donc on prend pour origine du temps celui du mouvement, la constante $C'$ devra être nulle, et l’on aura :

$t={\frac {1}{\sqrt {A}}}\operatorname {arc} \left(\sin ={\frac {v}{\sqrt {C}}}\right),\qquad {\text{ou}}\qquad v={\sqrt {C}}\sin \left(t.{\sqrt {A}}\right).$

Si l’on prend pour unité de temps celui qui s’écoule depuis le départ de la molécule jusqu’à son retour, on a, $v={\sqrt {C}}\sin(2\pi t).$