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$\left({\frac {np}{x}}\right)^{x}\left({\frac {nq}{n-x}}\right)^{n-x}=e^{-u^{2}}\,;$

et comme on a en même temps

${\frac {x(n-x)}{n^{2}}}=pq,$

la formule (1) deviendra

$\mathrm {P} ={\frac {e^{-u^{2}}}{\sqrt {2\pi npq}}}\,;$

ce qu’il s’agissait de vérifier.

(9) En appelant $x'$ le nombre de fois que $\mathrm {A}$ arrivera sur les nombre $n$ d’épreuves, nous pourrons aussi dire que $\mathrm {U}$ est la probabilité que la différence ${\frac {x'}{n}}-p$ sera comprise entre les deux limites :

$\pm u{\sqrt {\frac {2pq}{n}}},$

qui seront également celles de la différence ${\frac {n-x'}{n}}-q,$ en changeant leurs signes.

On pourra toujours prendre $u$ assez grand pour que cette probabilité $\mathrm {U}$ diffère aussi peu qu’on voudra de la certitude. Il ne sera pas même nécessaire de donner à $u$ une grande valeur, pour rendre très-petite la différence $1-\mathrm {U} \,:$ il suffira, par exemple, de prendre $u$ égal à cinq ou six, pour que l’exponentielle $e^{-u^{2}},$ l’intégrale $\int _{u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt,$ et par suite la valeur de $1-\mathrm {U} ,$ soient presque insensibles. Cette remarque est importante ; car l’analyse précédente exige, effectivement, que $u$ ne soit pas un nombre considérable, puisque $u$ diffère