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très-peu de $r,$ et qu’en calculant la valeur de $k$ dans le n^o 7, nous avons négligé les quantités de l’ordre de ${\frac {r^{2}}{n}}\,;$ ce qui suppose que $r$ ou $u$ ne soit pas comparable à ${\sqrt {n}}.$

La valeur de $z$ ayant été convenablement choisie, et demeurant constante, les limites de ${\frac {x'}{n}}-p$ se resserreront de plus en plus à mesure que le nombre $n$ augmentera ; le rapport ${\frac {x'}{n}}$ du nombre de fois que l’événement $\mathrm {A}$ arrivera au nombre total des épreuves, différera donc de moins en moins de la probabilité $p$ de cet événement ; et l’on pourra toujours prendre $n$ assez grand pour qu’il y ait la probabilité $\mathrm {U}$ que la différence ${\frac {x'}{n}}-p$ sera aussi petite que l’on voudra ; ce qui est, comme on sait, le théorème de Jacques Bernouilli sur la répétition, dans un très-grand nombre d’épreuves, d’un événement dont la chance est donnée à priori.

(10) Nous avons supposé, pour parvenir à ce théorème, que $x$ et $n-x$ sont de très-grands nombres, aussi bien que leur somme ; d’après les valeurs de $x$ et $n-x$ du n^o 7, il faudra donc que les produits $pn$ et $qn$ soient très-grands ; mais si la probabilité $p$ est très-petite, de telle sorte que $pu$ soit une fraction, ou un nombre peu considérable, il sera très-probable que $\mathrm {A}$ n’arrivera_ qu’un très-petit nombre de fois sur un très-grand nombre $n$ d’épreuves ; et dans ce cas, la formule (2) fera connaître sans difficulté, la probabilité $\mathrm {X}$ que ce nombre de fois n’excédera pas $.x$

En effet, soit $pn=\omega \,;$ en négligeant le rapport ${\frac {x}{n}},$ la quantité comprise entre les parenthèses dans la formule (2), de-