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viendra

$1+\omega +{\frac {\omega ^{2}}{2}}+{\frac {\omega ^{3}}{2.3}}+\ldots +{\frac {\omega ^{x}}{1.2.3\ldots x}}\,;$

on aura, en même temps,

$q=1-{\frac {\omega }{n}},\qquad q^{-x}=1,\qquad q^{n}=e^{-\omega }\,;$

il en résultera donc

$\mathrm {X} =\left(1+\omega +{\frac {\omega ^{2}}{2}}+{\frac {\omega ^{3}}{2.3}}+\ldots +{\frac {\omega ^{x}}{1.2.3\ldots x}}\right)e^{-\omega },$

ou, ce qui est la même chose,

$\mathrm {X} =1-{\frac {\omega ^{x+1}e^{-\omega }}{1.2.3\ldots x+1}}\left(1+{\frac {\omega }{x+2}}+{\frac {\omega ^{2}}{x+2.x+3}}+{\text{etc}}.\right).$

Or, on voit que si $x$ n’est pas un petit nombre, cette valeur de $\mathrm {X}$ différera très-peu de l’unité. Si l’on a, par exemple, $x=10$ et $\omega =1,$ la différence $1-\mathrm {X}$ sera à peu près un cent millionième, c’est-à-dire qu’il est presque certain qu’un événement dont la chance est ${\frac {1}{n}},$ n’arrivera pas plus de dix fois, sur un très-grand nombre $n$ d’épreuves.

Dans le cas de $x=0,$ on a $\mathrm {X} =e^{-\omega },$ pour la probabilité que sur un très-grand nombre $n$ d’épreuves, un événement dont la change est ${\frac {\omega }{n}}$ n’arrivera pas une seule fois.

(11) L’intégrale $\int _{u}^{\infty }e^{-t^{2}}dt$ que contient la formule (13), se calculera, en général, par la méthode des quadratures. On trouve, à la fin de l’Analyse des réfractions de Kramp, une table de ses valeurs qui s’étend depuis $u=0$ jusqu’à