ne peut faire passer aucune droite parallèle à une droite donnée, c’est-à-dire aucune ligne qui ne la rencontre jamais. Et là-dessus il fonde une géométrie parfaitement cohérente.
Qui oserait affirmer que la géométrie d’Euclide est vraie, celle de Riemann fausse ? Comme constructions théoriques idéales, elles sont aussi vraies l’une que l’autre.
On peut poser la question suivante : le monde réel correspond-il à la géométrie classique d’Euclide ou à celle de Riemann ?
On a cru longtemps qu’il correspondait à la géométrie d’Euclide. Poincaré lui-même disait, parlant de celle-ci : « Elle est et restera la plus commode : 1o parce qu’elle est la plus simple ; 2o parce qu’elle s’accorde assez bien avec les propriétés des solides naturels, ces corps dont se rapprochent nos membres et notre œil et avec lesquels nous faisons nos instruments de mesure. »
Lorsque les anciens affirmaient que la Terre est plate, ils assuraient de même… ou à peu près : « Cette notion est la plus commode : 1o parce qu’elle est la plus simple ; 2o parce qu’elle s’accorde assez bien avec les propriétés des objets naturels avec lesquels nous sommes en contact. » Mais quand les hommes sont venus en contact avec des objets plus éloignés, quand les navigateurs et les astronomes ont multiplié ces
