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Maintenant, comme on peut transporter le signe « $\lnot$ » d’un membre à l’autre d’une égalité [$\mathrm {P}$ 96], on passe des $\mathrm {P}$ 103 et 104 aux $\mathrm {P}$ 105 et 106, qu’on peut énoncer ainsi :

« La réunion de deux $\mathrm {Cls}$ est le contraire de l’intersection de leurs contraires » [$\mathrm {P}$ 105] ; « l’intersection de deux $\mathrm {Cls}$ est le contraire de la réunion de leurs contraires » [$\mathrm {P}$ 106]. Ainsi donc la $\mathrm {P}$ 105 nous donne une manière d’exprimer une réunion par une intersection et la $\mathrm {P}$ 106 nous donne une manière d’exprimer une intersection par une réunion. D’où il parait que, le signe « $\lnot$ » étant connu, on pourrait conserver un seul des signes « $\smallsmile$ » et « $\smallfrown$ », celui qu’on voudrait, en se passant de l’autre.

Ce n’est qu’une remarque de possibilité, car les deux signes considérés sont si commodes qu’on ne saurait conseiller de renoncer à aucun d’eux.

108. Comme exemple d’application de nos procédés idéographiques, je vais montrer comment de la vérité des quatre P, dont je viens de parler en supposant que a et b étaient des $\mathrm {Cls}$, découle celle des mêmes P, en supposant qu’a et b soient des conditions par rapport à une même variable.

En effet, si x est cette variable, on pourra déterminer [60] deux $\mathrm {Cls}$ u et v telles que

$x\,\varepsilon \,u=a\qquad \qquad x\,\varepsilon \,v=b$(1)

Comme u et v sont des $\mathrm {Cls}$, elles vérifient la $\mathrm {P}$ 103, c’est-à-dire

$\lnot (u\smallsmile v)=(\lnot u)\smallfrown (\lnot v)$

En opérant sur les deux membres de cette égalité par l’écriture « $x\,\varepsilon$ » [$\mathrm {P}$ 10], on obtient

$x\,\varepsilon \,\lnot (u\smallsmile v)=x\,\varepsilon \,[(\lnot u)\smallfrown (\lnot v)]$

Dans le second membre on peut distribuer l’écriture « $x\,\varepsilon$ » par rapport au signe « $\smallfrown$ » [96] ; on obtient ainsi

$x\,\varepsilon \,\lnot (u\,\smallsmile \,v)\,:\,=\,:\,x\,\varepsilon \,\lnot u\,.\,\smallfrown \,.\,x\,\varepsilon \,\lnot v$

Puisque u et v sont des $\mathrm {Cls}$, « $\lnot (u\smallfrown v)$ », « $\lnot u$ » et « $\lnot v$ » sont aussi des $\mathrm {Cls}$ [$\mathrm {P}$ 14, 24] ; on peut donc transposer partout les deux signes « $\varepsilon$ » et « $\lnot$ » [$\mathrm {P}$ 28], après quoi on peut même transposer partout x et « $\lnot$ » [$\mathrm {P}$ 22] ; on obtient

$\lnot [x\,\varepsilon \,(u\,\smallsmile \,v)]\,:\,=\,:\ \lnot (x\,\varepsilon \,u)\,.\,\smallfrown \,.\,\lnot (x\,\varepsilon \,v)$