Page:Poincaré - La Science et l’Hypothèse.djvu/25

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qui, semble-t-il, devrait s’imposer naturellement à tous les bons esprits ? C’est là un problème logique et psychologique bien digne d’être médité.

Mais nous ne nous y arrêterons pas ; il est étranger à notre objet ; tout ce que je veux retenir, c’est que, sous peine de manquer notre but, il nous faut refaire les démonstrations des théorèmes les plus élémentaires et leur donner non la forme grossière qu’on leur laisse pour ne pas lasser les débutants, mais celle qui peut satisfaire un géomètre exercé.


Définition de l’addition. — Je suppose qu’on ait défini préalablement l’opération x + 1, qui consiste à ajouter le nombre 1 à un nombre donné x.

Cette définition, quelle qu’elle soit d’ailleurs, ne jouera plus aucun rôle dans la suite des raisonnements.

Il s’agit maintenant de définir l’opération x + a, qui consiste à ajouter le nombre a à un nombre donné x.

Supposons que l’on ait défini l’opération

x + (a − 1),
l’opération x + a sera définie par l’égalité :
(1) x + a = [x + (a − 1)] + 1.

Nous saurons donc ce que c’est que x + a quand nous saurons ce que c’est que x + (a − 1),