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et comme j’ai supposé au début que l’on savait ce que c’est que $x+1$, on pourra définir successivement et « par récurrence » les opérations $x+2$, $x+3$, etc.

Cette définition mérite un moment d’attention, elle est d’une nature particulière qui la distingue déjà de la définition purement logique ; l’égalité $(1)$ contient en effet une infinité de définitions distinctes, chacune d’elles n’ayant un sens que quand on connaît celle qui la précède.

Propriétés de l'addition. — Associativité. — Je dis que

$a+(b+c) = (a+b)+c$.

En effet le théorème est vrai pour $c = 1$ ; il s’écrit alors

$a+(b+1) = (a+b)+1$

ce qui n’est autre chose, à la différence des notations près, que l’égalité $(1)$ par laquelle je viens de définir l’addition.

Supposons que le théorème soit vrai pour $c = \gamma$, je dis qu’il sera vrai pour $c = \gamma +1$, soit en effet

$(a+b)+\gamma = a+(b+\gamma)$,

on en déduira successivement :

$[(a+b)+ \gamma ]+1 = [a+(b+ \gamma) ]+1$

ou en vertu de la définition $(1)$

$(a+b)+( \gamma +1) = a+(b+\gamma+1)=a+[b+( \gamma+1)]$,