Page:Poincaré - La Science et l’Hypothèse.djvu/26

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et comme j’ai supposé au début que l’on savait ce que c’est que x+1, on pourra définir successivement et « par récurrence » les opérations x+2, x+3, etc.

Cette définition mérite un moment d’attention, elle est d’une nature particulière qui la distingue déjà de la définition purement logique ; l’égalité (1) contient en effet une infinité de définitions distinctes, chacune d’elles n’ayant un sens que quand on connaît celle qui la précède.

Propriétés de l'addition. — Associativité. — Je dis que

a+(b+c) = (a+b)+c.

En effet le théorème est vrai pour c = 1 ; il s’écrit alors

a+(b+1) = (a+b)+1

ce qui n’est autre chose, à la différence des notations près, que l’égalité (1) par laquelle je viens de définir l’addition.

Supposons que le théorème soit vrai pour c = \gamma , je dis qu’il sera vrai pour  c = \gamma +1, soit en effet

 (a+b)+\gamma = a+(b+\gamma) ,

on en déduira successivement :

 [(a+b)+ \gamma ]+1 = [a+(b+ \gamma) ]+1

ou en vertu de la définition (1)

 (a+b)+( \gamma +1) = a+(b+\gamma+1)=a+[b+( \gamma+1)] ,