Page:Poincaré - La Science et l’Hypothèse.djvu/26

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et comme j’ai supposé au début que l’on savait ce que c’est que x + 1, on pourra définir successivement et « par récurrence » les opérations x + 2, x + 3, etc.

Cette définition mérite un moment d’attention, elle est d’une nature particulière qui la distingue déjà de la définition purement logique ; l’égalité (1) contient en effet une infinité de définitions distinctes, chacune d’elles n’ayant un sens que quand on connaît celle qui la précède.


Propriétés de l’addition,Associativité. — Je dis que

a + (b + c) = (a + b) + c.

En effet le théorème est vrai pour c = 1 ; il s’écrit alors

a + (b + 1) = (a + b) + 1,
ce qui n’est autre chose, à la différence des notations près, que l’égalité (1) par laquelle je viens de définir l’addition.

Supposons que le théorème soit vrai pour c = γ, je dis qu’il sera vrai pour c = γ + 1, soit en effet

(a + b) + γ = a + (b + γ),
on en déduira successivement :
[(a + b) + γ] + 1 = [a + (b + γ)] + 1,
ou en vertu de la définition (1)
(a + b) + (γ + 1) = a + (b + γ + 1) = a + [b + (γ + 1)],