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hypothèses cosmogoniques

Si l’on a en même temps

$\alpha \geq 1,\qquad \beta \geq 2,$

$\mathrm {A} _{1}$ sera positif, car de deux éléments de l’intégrale correspondant aux deux valeurs $v$ et $\pi -v$ de la variable d’intégration, l’un est positif et l’autre négatif, mais l’élément positif est plus grand en valeur absolue que l’élément négatif,

D’une façon analogue, on reconnaîtrait que si les deux inégalités

$\alpha \geq 1,\qquad \alpha +2\beta \geq 5,$

sont satisfaites, on aura de même $\mathrm {A} _{1}\geq 0.$

Si nous supposons l’excentricité $e$ assez petite pour pouvoir négliger son carré $e^{2}$, nous trouverons des conditions plus larges. La seconde formule (11) se réduira à

${\frac {de}{dv}}=-\mathrm {H} \left[1+\left(\alpha -1\right)e\cos v+\left(\beta -2\right)e\cos v\right]\left(e+\cos v\right)\,;$

d’où, en ne gardant que la valeur moyenne du second membre, on tire

${\begin{aligned}{\frac {de}{dv}}&=-\mathrm {H} \left(e+{\frac {\alpha +\beta -3}{2}}e\right)\\[0.5ex]&=-{\frac {\mathrm {H} e}{2}}\left(\alpha +\beta -1\right).\end{aligned}}$

Il suffit alors, pour que l’excentricité décroisse, que l’on ait

$\alpha +\beta >1.$

Dans ce cas, même si $\beta =0$ (c’est-à-dire si la résistance $\mathrm {R}$ ne varie pas avec la distance $r$ au Soleil), il suffira que l’on ait

$\alpha >1,$

c’est-à-dire que $\mathrm {R}$ croisse plus vite que la simple puissance de la vitesse. Or, on admet souvent, à titre d’approximation, qu’une résistance de milieu est proportionnelle au carré de la vitesse.

90.Cette diminution de l’excentricité par le fait d’une résistance de milieu aurait pu se prévoir, en gros et sans calcul, de la manière suivante. Supposons que la résistance ne se fasse sentir qu’au voisinage du périhélie P (fig. 22) ; dans ce cas, la planète subit en ce