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hypothèses cosmogoniques

Le second membre de la seconde équation (2) est donc

$4\pi \mathrm {D} \sigma \,;$

nous avons vu d’ailleurs que le second membre de la première équation (2) peut être pris égal à zéro.

Si maintenant dans les équations (2) nous substituons les valeurs (4) de $\rho$ et de $\sigma$, nous obtenons

$\left\{{\begin{aligned}3\omega ^{2}\mathrm {A} +2\omega n\mathrm {B} +n^{2}\mathrm {A} &=0,\\[0.75ex]-n^{2}\mathrm {B} -2\omega n\mathrm {A} &=4\pi \mathrm {DB} \,;\\\end{aligned}}\right.$

et l’élimination de $\mathrm {A}$ et de $\mathrm {B}$ entre ces équations conduit à l’équation en $n$

$\left(n^{2}+3\omega ^{2}\right)\left(n^{2}+4\pi \mathrm {D} \right)-4\omega ^{2}n^{2}=0$

ou

$n^{4}-\left(\omega ^{2}-4\pi \mathrm {D} \right)n^{2}+12\pi \omega ^{2}\mathrm {D} =0.$

Cette équation bicarrée en $n$ doit, s’il y a stabilité, avoir ses racines réelles, ce qui exige que

$(\omega ^{2}-4\pi \mathrm {D} )^{2}-48\pi \omega ^{2}\mathrm {D} >0\,;$

cette inégalité peut s’écrire ainsi :

$\omega ^{4}-56\pi \mathrm {D} \omega ^{2}+16\pi ^{2}\mathrm {D} ^{2}>0.$

Nous savons déjà que la masse de l’anneau et, par suite, sa densité doivent être petites pour qu’il y ait stabilité. Négligeant donc $\mathrm {D} ^{2}$, nous obtenons la condition

$\omega ^{2}>56\pi \mathrm {D} ,$

d’où nous tirons l’inégalité

(7)

$4\pi \mathrm {D} <{\frac {\omega ^{2}}{14}}$

qui fixe une limite supérieure à la densité de l’anneau. Maxwell conclut que si l’anneau était liquide sa densité ne pourrait pas surpasser 1/300 de celle de la planète. Ce résultat est vrai pour un anneau de poussières cosmiques comme pour un anneau liquide : la stabilité ne peut exister que si la densité est suffisamment petite.