Page:Poincaré - Leçons sur les hypothèses cosmogoniques, 1911.djvu/71

Cette page a été validée par deux contributeurs.

45

analyse de l’hypothèse de laplace

36.Limite inférieure de la densité d’un anneau fluide. — Un calcul que nous avons déjà fait à la fin de la Section II (p. 23), donne une limite inférieure pour la densité d’un anneau fluide homogène supposé tourner d’une seule pièce avec la vitesse angulaire $\omega \,:$ l’anneau n’est stable que si sa densité $\rho$ satisfait à l’inégalité

(8)

\rho >{\frac {\omega ^{2}}{2\pi }}\cdot

Le même raisonnement nous permet même de dire que, pour une masse fluide homogène tournant autour d’un axe avec une vitesse angulaire constante $\omega$ et soumise à l’attraction mutuelle de ses molécules, aucune figure n’est stable si l‘inégalité (8) n’est pas satisfaite^[1]. Si, dans cette inégalité, nous prenons pour $\omega$ la vitesse angulaire d’un satellite dont l’orbite coïnciderait avec l’anneau de Saturne, nous trouvons que la densité $\rho$ de l’anneau doit être supérieure à 1/16 de celle de la planète. Cette condition est incompatible avec celle de Maxwell et elle nous force à rejeter l’hypothèse de la fluidité des anneaux de Saturne. Comme ces anneaux ne sont pas non plus solides, d’après Maxwell et d’après Hirn, nous sommes amené à les regarder comme formés d’un grand nombre de corpuscules indépendants : le calcul de Maxwell nous a appris qu’une telle constitution peut être stable si la masse totale de l’anneau est assez petite.

37.La limite inférieure de la densité, donnée par l’inégalité (8), a été trouvée en supposant que la vitesse angulaire $\omega$ est la même pour tout le fluide. Affranchissons-nous de cette hypothèse et considérons, comme dans la Section IV, une masse fluide tournant d’un mouvement permanent autour d’un axe de révolution $x'x$ (fig. 7, p. 30), la vitesse angulaire $\omega$ variant d’un anneau élémentaire AA′ à l’autre. Conservant les notations de la section IV, nous avons (p. 32) la relation

\varphi -\mathrm {H-P} =\,{\text{const.}}

Or, la pression $p$ est nulle à la surface et positive à l’intérieur du fluide ; donc

\mathrm {H} =\int {\frac {dp}{\rho }}

↑ H. Poincaré : Sur l’équilibre d’une masse fluide animée d’un mouvement de rotation, 1885 (Bulletin astronomique, t. II, p. 117).

[1] H. Poincaré : Sur l’équilibre d’une masse fluide animée d’un mouvement de rotation, 1885 (Bulletin astronomique, t. II, p. 117).

[1]