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il fait observer que le produit

$m_{i}v_{i}^{2}=m_{i}\xi _{i}^{2}+m_{i}\eta _{i}^{2}+m_{i}\zeta _{i}^{2}$

est la somme de trois produits analogues où entrent des vitesses $\xi _{i}$, $\eta _{i}$, $\zeta _{i}$ de direction arbitraire. Il en conclut que dans un système de points matériels, où les vitesses ont des directions quelconques, c'est la somme $\sum m_{i}v_{i}^{2}$ de ces produits, la force vive, qu'il faut considérer, et non, comme le faisait Descartes, la somme $\sum m_{i}v_{i}$. Leibnitz introduit en outre ce qu'il appelle l'action motrice et l'action latente, et, pour lui, ce qui reste constant, c'est l'action motrice, somme de la force vive et de l'action latente. Leibnitz était donc sur la voie de la découverte du principe de la conservation de l'énergie.

Il semble d'ailleurs que Leibnitz ait eu l'intuition de nos idées actuelles. En effet, suivant ce mathématicien, si l'action motrice paraît se perdre dans certains cas, c'est que les mouvements sensibles sont transformés en mouvements moléculaires. On ne pouvait exprimer plus clairement l'hypothèse qui a été à l'origine de la Théorie mécanique de la chaleur.

6. Le théorème des forces vives

Les idées émises par Leibnitz ne tardèrent pas à être précisées ; on en déduisit le théorème des forces vives.

Soient $m_{1},\,m_{2},\,\dots ,\,m_{i}$ les masses des points d'un système matériel ; $x_{1},\,y_{1},\,\dots \,x_{i},\,y_{i},\,z_{i}$ les coordonnées de ces points ; $X_{1},\,Y_{1},\dots$ $\mathrm {X} _{i},\,\mathrm {Y} _{i},\,\mathrm {Z} _{i}$ les composantes suivant les axes de la résultante de toutes les forces intérieures et