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H. POINCARÉ. — DES FONDEMENTS DE LA GÉOMÉTRIE.

le lieu des points qui ont avec le point $A$ la même relation qu’un autre point $B$ est une ligne qu’il appelle ligne droite. Je ne vois pas d’abord pourquoi il est indispensable à toute expérience que ce lieu soit une ligne et non une surface ; mais passons. Pourquoi est-il nécessaire que cette ligne passe par le point $A$ ? Pourquoi le lieu des points qui ont même relation avec $A$ que $B$ avec A, est-il le même que le lieu des points qui ont même relation avec $B$ que $A$ avec $B$ ? Pourquoi $C$ ne pourrait-il avoir même relation avec $A$ que $B$ avec $A$ sans avoir en même temps même relation avec $B$ que $A$ avec $B$, sans que $A$ ait même relation avec $C$ que $B$ avec $C$ ?

Il y a tout cela dans notre axiome, il n’y a rien de tout cela dans cette simple assertion « Entre deux points quelconques il faut qu’il y ait une relation ».

Il est inutile de répéter pour l’axiome du plan ce que je viens de dire pour l’axiome de la droite ; l’axiome du plan contient plus que l’assertion entre trois points il y a une relation ; la conclusion contient plus que les prémisses ; on n’a pu l’en déduire que grâce à l’ambiguïté des.termes dont on a fait usage.

Nous devons donc conclure, contrairement à ce qu’affirme M. Russell, que les axiomes de la géométrie projective ne sont pas des conditions indispensables de toute expérience.

La Géométrie métrique.

§ 5.

M. Russell cherche d’abord à reconnaître ce que la géométrie métrique a de commun avec la géométrie projective, et ici encore nous retrouvons la même ambiguïté dans les termes (p. 148, § 141) :

« La géométrie métrique, dit-il, est… Néanmoins, son élément a priori…, est le même que le postulat de la géométrie projective, à savoir l’homogénéité de l’espace, ou son équivalent, la relativité de la position^[1]. »

Oui, à la base de la géométrie projective, il y a un postulat que l’on peut appeler le principe de la relativité de position. À la base de la géométrie métrique, il y a aussi un postulat que l’on peut aussi appeler le principe de la relativité de position. Mais ce n’est pas le

1. Metrical Geometry is… ; its a priori element, nevertheless…., is the same as the postulate of projective Geometry, namely, the homogeneity of space, or its équivalent, the relativity of position.