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REVUE DE MÉTAPHYSIQUE ET DE MORALE.

élémentaires. Ces sommations elles-mêmes, il les fait reposer sur des relations qui, prises en soi, sont d’ordre analytique. C’est ainsi par exemple que dans le traité des Conoïdes et des Sphéroïdes il fait intervenir l’inégalité suivante, tirée des propriétés depuis longtemps connues des progressions arithmétiques,

${\frac {n^{2}}{2}}h<h+2h+3h+\ldots +nh<{\frac {(n+1)^{2}}{2}}h$.^[1]

Une telle formule ouvre la voie à ce que Zeuthen appelle une intégration véritable^[2]. Si on fait tourner une parabole autour de son axe, on engendre le corps qu’Archimède appelle conoïde parabolique. Je trace des plans perpendiculaires à l’axe et équidistants, je détermine une série de volumes élémentaires auxquels je peux inscrire ou circonscrire une série de cylindres de même hauteur. Le volume du conoïde parabolique sera compris entre deux sommes de cylindres, les uns circonscrits, les autres inscrits ; la différence de ces deux sommes peut être représentée par le plus grand cylindre circonscrit, et la hauteur de ce cylindre étant d’ailleurs indéterminée, il peut devenir plus petit qu’une quantité donnée^[3].

Ce n’est là qu’un premier pas dans le traité de la Quadrature de la Parabole, Archimède substitue à cet élément qui demeure homogène à la figure totale un élément qui a une dimension de moins que le tout ; l’étude des surfaces se ramène alors à la considération des lignes que l’on peut tracer dans cette surface. Ayant ainsi franchi les bornes de l’intuition géométrique, Archimède dépasse le domaine de la géométrie elle-même. Pour résoudre un problème de quadrature, il fait appel à des considérations de statique, « d’une statique tout intellectuelle », suivant l’expression curieuse qu’emploie ici Montucla^[4]. Il a, par exemple, à comparer un segment parabolique et un triangle ; il conçoit un levier idéal dont le point fixe est choisi de telle manière que chacune des droites tracées dans le triangle suivant une certaine direction fasse équilibre à chacune des mêmes parallèles prises dans le segment et supposées transportées à une distance

1. Archimedis Opera, Ed. Heiberg, t. 1, 1880, p. 290. Voir l’étude de Heiberg sur les progressions arithmétiques chez Archimède dan les Quæstiones Archimedæ, 1879, p. 51-57.
2. Op. cit., p. 149
3. Voir dans Montucla, Histoire des Mathématiques, Part. I, liv. IV, la note E. Ed de 1799, t. I, p. 282.
4. Ibid., p. 225.