et nous n’en pourrons tirer que
qui est une nouvelle identité.
Appliquons la 3e à une équation préalablement obtenue :
si cette équation est une identité, comme nous le supposons, et qu’elle se réduise à
nous en déduirons
qui est encore une identité
Ainsi d’identités nous ne pourrons déduire que des identités, et de proche en proche, c’est-à-dire par induction mathématique, on voit que, quelque loin que nous poussions la chaîne de nos raisonnements, nous n’obtiendrons jamais que des identités.
L’exemple est peut-être trop simple, mais il suffit pour montrer en quoi consiste ce mode de raisonnement.
Inutile alors d’insister sur les objections de M. Couturat ; l’ordre naturel d’une démonstration n’est pas linéaire, mais ramifié ; qu’est-ce que cela peut faire ; on n’énoncera jamais les théorèmes que les uns après les autres ; l’ordre de ces théorèmes ne nous est pas absolument imposé, et nous pouvons le modifier légèrement. Cela n’empêche pas que le raisonnement par récurrence ne soit applicable ; je n’ai même pas besoin de dire que nous pouvons choisir l’ordre des théorèmes de façon qu’il s’applique, puisqu’il s’appliquera quel que soit notre choix.
M. Pieri a mieux compris la question ; il fait cependant une objection ; « lors même, dit-il, que le principe d’induction serait accepté parmi les axiomes logiques, nous ne saurions décider s’il s’agit d’une série dénombrable, c’est-à-dire susceptible de l’application du principe ».
Un raisonnement formé d’une suite non dénombrable de propositions et de syllogismes, qu’est-ce que cela peut bien être ? Comment se représenter cela ? Peut-être pouvons-nous nous contenter d’être assurés que nous ne rencontrerons jamais de contradiction : jamais signifiant au bout d’un temps fini si long qu’il soit ; quand même nous n’aurions plus la même certitude quand il s’agirait d’un temps postérieur à la fin de l’éternité.
