ce que M. Russell appelle la « zigzagginess ? » Je pose la question sans la résoudre.
Par exemple la définition d’aleph-un est non prédicative ; le raisonnement par lequel Cantor cherche à établir l’existence de ce nombre, me paraissant tout pareil à celui de Burali-Forti. Je ne suis donc pas sûr qu’aleph-un existe.
Je suis maintenant en mesure de revenir sur les questions traitées par M. Couturat dans son § IV et que j’avais réservées. Peut-on démontrer le principe d’induction, et si on le regarde comme une définition, peut-on démontrer que cette définition n’est pas contradictoire ? Examinons donc les démonstrations qui ont été proposées et que je ramènerai à trois : celle de Whitehead-Russell ; celle de Burali-Forli rappelée par M. Pieri dans son dernier article ; celle de Zermelo que j’exposerai plus loin.
Et d’abord pour mieux faire comprendre la position de la question, profitons de quelques dénominations nouvelles heureusement introduites par M. Russell dans son récent mémoire.
Appelons classe récurrente toute classe de nombres qui contient zéro, et qui contient si elle contient .
Appelons nombre inductif tout nombre qui fait partie de toutes les classes récurrentes.
Appelons nombre fini le nombre cardinal d’une classe qui n’est équivalente à aucune de ses parties.
Il conviendrait de compléter encore cette nomenclature, afin d’éviter toute espèce de confusion, car on a donné une autre définition des classes finies ; on a dit qu’un nombre est fini lorsqu’il n’est pas égal à . Nous dirons alors qu’un entier fini est un nombre cardinal qui n’est pas égal à .
Il est clair d’après cela que tout nombre fini est un entier fini, mais la réciproque n’est pas évidente ; pour la démontrer, il faudrait s’appuyer sur le théorème de Bernstein que nous discuterons plus loin.
On voit d’autre part tout de suite que la classe des entiers finis est récurrente et par conséquent que tout nombre inductif est un entier fini.
