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H. POINCARÉ. — LES MATHÉMATIQUES ET LA LOGIQUE.

Il reste à savoir si tout nombre fini est un nombre inductif ; et s’il en est de même de tout entier fini. Établir ce point ce serait démontrer le principe d’induction au sens que je lui ai donné au § VI, ainsi qu’il est aisé de le constater en se reportant à ce paragraphe. Mais il me semble pas qu’on y soit parvenu. M. Russell qui est censé l’avoir démontré^[1], en doute fort, car il dit dans son dernier article : « But, so far as I know, we cannot prove that the number of classes contained in a finite class is always finite, or that every finite number is an inductive number. »

XI

Je vais exposer de mon mieux la démonstration de Whitebead ; les lecteurs qui trouveraient que mon exposition manque de clarté pourront se reporter au texte primitif (American Journal of mathematics, t. XXIV).

Les nombres inductifs existent puisque zéro appartient par définition à toutes les classes récurrentes ; on voit tout de suite que tout nombre non inductif n’est pas un entier fini. Il s’agit d’établir inversement que tout nombre non inductif n’est pas un entier fini, et pour cela de montrer que toute classe dont le nombre cardinal n’est pas inductif contient une classe dont le nombre cardinal est aleph-zéro. Pour cela nous allons établir la proposition suivante :

Si $n$ n’est pas inductif, et que $m$ le soit, $n-m$ ne sera pas inductif.

Et en effet la classe des nombres $m$ tels que, $n$ étant un nombre non inductif quelconque, $n-m$ ne soit pas inductif, cette classe, dis-je, est récurrente ; si donc $m$ est inductif il devra en faire partie.

Il est aisé de vérifier que cette classe que nous appellerons $\mathrm {K}$ est récurrente ; car zéro en fait partie puisque $n-0$ n’est pas inductif, si $n$ ne l’est pas ; de plus $m+1$ en fait partie si $m$ en fait partie ; car si $n-m$ n’est pas inductif, il en est de même de $n-m-1$.

Je ne poursuivrai pas plus loin la démonstration, car c’est ici qu’en est le défaut :

La définition du nombre inductif n’est pas prédicative, si on admet le critère du § IX. Un nombre inductif est celui qui appartient à toutes les classes récurrentes ; si nous voulons éviter un cercle vicieux

1. Couturat attribue la démonstration à Whitehead, mais Whitehead l’attribue à Russell (American Journal of Mathematic, t. XXIV). (Toute la section 3, dit-il, est due à Russell.)