Le premier postulat n’est pas plus évident que le principe à démontrer ; le second non seulement n’est pas évident, mais il est faux ; comme l’a montré M. Whitehead, comme d’ailleurs le moindre taupin s’en serait aperçu du premier coup, si l’axiome avait été énoncé dans un langage intelligible, puisqu’il signifie : le nombre des combinaisons qu’on peut former avec plusieurs objets est plus petit que le nombre de ces objets.
Mais M. Pieri fait observer que l’on peut sans changer la démonstration, remplacer cet axiome faux par un autre d’après lequel le nombre des combinaisons est fini, si celui des objets est fini. Ce nouvel axiome est vrai, mais il n’est pas plus évident que le principe à démontrer. Il ne résout donc pas la question et.je n’ai pas à insister davantage sur la démonstration de M. Burali-Forti ; je me bornerai à dire que malgré ces inadvertances, et la difficulté qu’il y a à le lire, ce mémoire contient des choses très intéressantes.
M. Zermelo a bien voulu m’écrire une lettre où il propose une démonstration du principe d’induction. Il appelle suite simple un ensemble bien ordonné où tout élément (sauf le premier) a un prédécesseur immédiat ; et cette suite simple est finie si elle a un dernier élément. On constate aisément qu’il y a des suites simples finies.
Il est clair que le principe d’induction s’applique à ces suites, puisqu’une des formes qu’on lui a données, c’est que dans une classe de nombres entiers, il y en a toujours un plus petit que tous les autres, c’est-à -dire que la suite des nombres entiers est a bien ordonnée ». Cette démonstration ne diffère donc pas essentiellement des précédentes, et la plupart des objections subsistent. D’ailleurs ce qu’il faudrait démontrer, c’est qu’il existe au moins une suite simple infinie.
Dans sa démonstration célèbre, M. Zermelo s’appuie sur l’axiome suivant :
Dans un ensemble quelconque (ou même dans chacun des ensembles d’un ensemble d’ensembles) nous pouvons toujours choisir au hasard un élément (quand même cet ensemble d’ensembles comprendrait une infinité d’ensembles). On avait appliqué mille fois cet axiome sans l’énoncer, mais dès qu’il fut énoncé, il souleva des doutes. Quelques mathématiciens, comme M. Borel, le rejetèrent
