résolument ; d’autres l’admirent. Voyons ce qu’en pense M. Russell, d’après son dernier article.
Il ne se prononce pas : « Whether Zermelo’s axiom is true or false is a question which, while more fundamental matters are in doubt, is very likely to remain unanswered. » Il se contente de mettre en évidence quelques-unes des formes nouvelles que l’on peut donner à la question ; mais les considérations auxquelles il se livre sont très suggestives.
Et d’abord un exemple pittoresque ; supposons que nous ayons aleph-zéro paires de bottes de telle façon que nous puissions numéroter les paires depuis 1 jusqu’à l’infini ; combien aurons-nous de bottes ? en aurons-nous aleph-zéro de façon que nous puissions numéroter les bottes depuis 1 jusqu’à l’infini ? Oui, si dans chaque paire, la botte droite se distingue de la botte gauche ; il suffira en effet de donner le numéro à la botte droite de la paire et le numéro à la botte gauche de la paire. Non, si la botte droite est pareille à la botte gauche, parce qu’une pareille opération deviendra impossible. À moins que l’on n’admette l’axiome de Zermelo, parce qu’alors on pourra choisir au hasard dans chaque paire la botte que l’on regardera comme droite.
Enfin M. Russell montre que si on abandonne l’axiome de Zermelo, on est conduit à abandonner ce qu’il appelle, the multiplicative axiom, sur lequel repose la définition de la multiplication de deux nombres cardinaux transfinis. Alors tout ce que M. Couturat appelle la théorie cardinale du nombre s’écroule d’un coup.
À vrai dire, M. Russell n’abandonne pas tout espoir de rebâtir :
« The complete solution of our difficulties, we may surmise, is more likely to come from clearer notions in logic than from the technical advance of mathematics ; but until the solution is found we cannot be sure how much of mathematics it will leave intact. »
Encore une fois les vraies mathématiques, celles où l’on ne patauge pas dans l’infini actuel, ne sont pas en cause. Mais, ce qui est intéressant à rechercher, c’est ce que M. Russell entend par « clearer notions in logic ». Pour le comprendre il faut relire ce qui précède page 49 :
« The multiplicative axiom bas been employed constantly in proofs of theorems concerning transfinite numbers. It is open to everybody, as yet, to accept it as a self-evident truth, but it remains possible that it may turn out to be capable of disproof by reduction
