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revue de métaphysique et de morale.

ou enfin

$[a\times (\gamma +1)]+[b\times (\gamma +1)]$

On aura donc :

$(a+b)\times (\gamma +1)]=[a\times (\gamma +1)]+[b\times (\gamma +1)]$

C. Q. F. D.

La proposition est encore démontrée par récurrence.

Commutativité.

1^o Je dis que

$a\times 1=1\times a$

Le théorème est évident pour $a=1$.

Il me reste à faire voir que s’il est vrai pour $a=\alpha$, il sera vrai pour $a=\alpha +1$.

Soit en effet :

$\alpha \times 1=1\times \alpha$

il viendra :

$(\alpha \times 1)+1=(1\times \alpha )+1$

ou, en vertu des deux égalités par lesquelles nous avons ci-dessus défini la multiplication,

$(\alpha \times 1)=1\times (\alpha +1)$

ou, en se servant encore de la première de ces deux égalités,

$(\alpha +1)\times 1=1\times (\alpha +1)$

C. Q. F. D.

2^o Je dis que

$a\times b=b\times a$

Le théorème vient d’être démontré pour $b=1$. Il me reste à faire voir que s’il est vrai pour $b=\beta +1$.

Soit en effet :

$a\times \beta =\beta \times a$

il viendra

$(a\times \beta )+a=(\beta \times a)+a$.

Le premier membre en vertu de la définition de la multiplication peut s’écrire :

$a\times (\beta +1)$

et le second membre (à cause de la distributivité de la multiplication) se réduit à

$(\beta +1)\times a$.