On a donc
.
J’arrête là celle série monotone de raisonnements. Mais cette monotonie même a mieux fait ressortir le procédé qui est uniforme et qu’on retrouve à chaque pas.
Ce procédé c’est la démonstration par récurrence. On établit d’abord un théorème pour ; on montre ensuite que s’il est vrai de , il est vrai de ; et on en conclut qu’il est vrai pour tous les nombres entiers.
On vient de voir comment on peut s’en servir pour démontrer les régies de l’addition et de la multiplication, c’est-à-dire les règles du calcul algébrique ; ce calcul est un instrument de transformation qui se prête à beaucoup plus de combinaisons diverses que le simple syllogisme ; mais c’est encore un instrument purement analytique et incapable de rien nous apprendre de nouveau. Si les mathématiques n’en avaient pas d’autre elles seraient donc tout de suite arrêtées dans leur développement ; mais elles ont de nouveau recours au même procédé, c’est-à-dire au raisonnement par récurrence et elles peuvent continuer leur marche en avant.
À chaque pas, si on y regarde bien, on retrouve ce mode de raisonnement, soit sous la forme simple que nous venons de lui donner, soit sous une forme plus ou moins modifiée.
C’est donc bien là le raisonnement mathématique par excellence et il nous faut l’examiner de plus près.
Le caractère essentiel du raisonnement par récurrence c’est qu’il contient, condensés pour ainsi dire en une formule unique, une infinité de syllogismes.
Pour qu’on s’en puisse mieux rendre compte, je vais énoncer les uns après les autres ces syllogismes qui sont, si l’on veut me passer l’expression, disposés en cascade.
Ce sont bien entendu des syllogismes hypothétiques.
Le théorème est vrai du nombre 1.
Or s’il est vrai de 1, il est vrai de 2,
