Soit une suite AB d’un repos, d’un mouvement A, d’un repos, d’un mouvement B et d’un repos. Si la sensation E s’est trouvée présente à la fois dans le repos initial et dans le repos final, sa présence dans l’un de ces repos entraine toujours sa présence dans l’autre (loi 1), quels que soient les trois repos (loi 2), et la suite BA possède la même propriété (loi 3). On dit que les deux mouvements A et B sont inverses (définition 3).
Un mouvement qui est son propre inverse est appelé demi-rotation (définition 4).
Deux mouvements qui possèdent un inverse commun sont appelés équivalents (définition 4).
Si les deux suites AB et BA sont équivalentes, on dit que les mouvements A et B sont commutables (définition 6).
Deux demi-rotations ayant parmi leurs commutables communs deux demi-rotations non équivalentes l’une à l’autre, et non équivalentes à l’une ou l’autre des deux premières, sont dites d’axes parallèles (définition 7).
Un mouvement équivalent à la suite de deux demi-rotations d’axes parallèles est appelé translation (définition 8).
La classe des translations équivalentes aux suites de toutes les paires de demi-rotations commutables de deux demi-rotations non équivalentes données AB, est appelée la direction AB (définition 9).
La classe des translations équivalentes à une translation donnée est appelée point (définition 10).
La suite de deux translations se trouve toujours être une translation.
Les suites d’une translation A et d’un membre quelconque d’une direction d forment, avec les mouvements équivalents à ces suites, une classe de points appelée droite Ad (définition 11).
Notre poisson parviendrait ainsi, en appliquant les critères expérimentaux fournis par les définitions qui précèdent, à discerner les translations des autres mouvements, à classer ces translations en points, et ces points en droites : or ces points et ces droites vérifieront toutes les propositions non métriques de la géométrie.
Les distances elles-mêmes s’introduiraient dans l’expérience de
