est inventé pour les besoins de la cause, il n’a en lui-même rien d’a priori ou d’inné. C’est donc à tort que certains logiciens de l’école de Kant y ont voulu voir le symbole du principe de contradiction.
La quantité a, qui est égale à s — b, peut elle-même être considérée comme une somme dont l’une des parties est c, et dont, par conséquent, je puis soustraire c ; ce qui me donne le reste a — c = s — b — c. De même de a — c je puis retrancher une partie d, ce qui me donne le résultat s — b — c — d ; et ainsi de suite. Or de s, retrancher d’abord b, puis c, puis d, etc., c’est, en fin de compte, retrancher le polynôme b + c + d +… ; donc : s — b — c — d —… = s — (b + c + d +…), formule qui nous donne la règle à suivre pour soustraire d’une quantité une somme donnée.
Si j’étends cette règle, et que de s je retranche la somme s + c = s’, en vertu d’un résultat précédent, j’aurai : s — s’ = s — s — c = 0 — c = — c, quantité que l’on appelle négative, et qui s’oppose à la quantité + c qui prend dès lors le nom de positive.
Les quantités négatives ne rentrent dans aucun ordre de quantités jusqu’à présent connu. Force est donc bien de rechercher les règles de l’addition et de la soustraction de cette espèce de quantités.
Nous savons déjà que a + ( + c) équivaut à a + c ; voyons à quoi revient a + ( — c). Des deux égalités s + c = s’ et s — s’ = — c, on tire, en vertu des conventions, s = s’ — c ; et s = s’ + ( — c) ; ce qui nous montre que s’ + ( — c) = s’ — c, et nous fournit la manière d’additionner une quantité négative.
De même, si nous passons à la soustraction, comme nous savons déjà que s — (+ a) = s — a, il ne nous reste à connaître que les règles de la soustraction d’une quantité négative. Or je dis que a — ( — b) = a + b = s ; car, en vertu de la convention et de la proposition précédente, on aurait : a = s + ( — b) = s — b.
Cette démonstration très-simple de la règle de la soustraction d’une quantité négative, reviendra modifiée dans l’algorithmie de la logique. On démontre parfois cette règle en s’appuyant sur ce principe empirique, que, si d’une quantité on retranche une quantité trop grande d’une certaine différence, le résultat sera trop petit de cette même différence ; et l’on trouve alors que a — (— b) = a — (a — s) = a — a + s = s = a + b. La règle, comme on le voit, n’est donc pas établie en vertu d’une convention.
Quels que soient d’ailleurs les moyens que l’on choisisse pour démontrer cette règle de la soustraction, ils présentent tous ce caractère qu’ils visent surtout à mettre en évidence que les résultats en sont d’accord avec ceux des autres règles déjà connues. Si l’on se demande maintenant quelle est l’origine des quantités négatives, on
