cher en général la limite vers laquelle tend le rapport des accroissements de deux variables, fonctions l’une de l’autre, lorsque ces accroissements tendent simultanément vers zéro ; dans les autres, il est proposé de calculer la limite vers laquelle tend la somme des produits des valeurs d’une fonction par les intervalles qui séparent les valeurs respectives de la variable, alors que ces intervalles décroissent indéfiniment, les valeurs extrêmes de la variable entre lesquelles se fait la sommation étant d’ailleurs supposées déterminées.
Vers le commencement du dix-huitième siècle, Newton publia sa méthode des fluxions, dont le point de départ était le suivant : Soit une variable , fonction du temps, ou fluente, comme disait l’illustre Anglais, le rapport de sa variation pendant un temps donné à ce temps exprime la vitesse moyenne de cette variation pendant ce temps, si l’on suppose que ce dernier devienne de plus en plus court jusqu’à s’annuler. Cette vitesse moyenne tendra vers une limite qu’on peut d’ailleurs déterminer analytiquement et qui représentera la vitesse de variation au moment originaire considéré ; cette limite, Newton la désignait sous le nom de fluxion, par le symbole .
Deux variables quelconques , liées entre elles par une équation, peuvent toujours être considérées comme fluentes, sous la seule condition d’établir une relation, d’ailleurs arbitraire, entre l’une d’elles au moins et le temps ; et il est facile de voir que la limite vers laquelle tend le rapport de leurs accroissements, quand ceux-ci tendent simultanément vers zéro, est égale au rapport de leurs fluxions.
On a naturellement reproché à cette méthode l’intervention inutile de la notion du temps ; mais les démonstrations de Newton étaient en tout cas fondées sur un principe établi rigoureusement, à savoir que, lorsque deux quantités continues variables sont constamment égales, elles ne peuvent tendre vers deux limites différentes ; et rien n’était plus facile que de transformer ces démonstrations en écartant ces notions de temps et de vitesse, empruntées à un domaine étranger à celui de l’algèbre.
Le point de départ de Newton correspondait d’ailleurs, comme on le voit, à la première face du calcul infinitésimal, aux problèmes dits alors des tangentes ; celui de Leibniz, ainsi que l’algorithme qu’il inventa, se rapproche davantage de la seconde face, des problèmes inverses des tangentes ou des quadratures.
Soit l’intervalle, qu’on peut supposer uniforme, de valeurs successives attribuées à une variable indépendante entre deux limites et ; la somme des produits de cet intervalle par les va-
