et les parties réelles entre 0 et est égale (abstraction faite d’une partie fractionnaire de même ordre de grandeur que la grandeur ) à ; or cette intégrale est égale au nombre de racines de situées dans ce domaine, multiplié par . On trouve, en effet, entre ces limites un nombre environ égal à celui-ci, de racines réelles, et il est très probable que toutes les racines sont réelles[1].
Il serait à désirer, sans doute, que l’on eût une démonstration rigoureuse de cette proposition ; néanmoins j’ai laissé cette recherche de côté pour le moment après quelques rapides essais infructueux, car elle paraît superflue pour le but immédiat de mon étude.
Si l’on désigne par toute racine de l’équation , on peut exprimer par
En effet, puisque la densité des racines de grandeur augmente seulement avec comme le fait , cette expression converge et pour infini ne devient infinie que comme l’est ; elle diffère de par conséquent d’une fonction de qui, pour fini, reste finie et continue et qui, divisée par , sera infiniment petite pour infini.
Cette différence, par suite, est une constante dont la valeur peut être déterminée en posant .
À l’aide de ces principes auxiliaires, nous pouvons maintenant déterminer le nombre des nombres premiers qui sont inférieurs à .
Soit ce nombre lorsque n’est pas exactement égal à un nombre premier, et soit ce nombre augmenté de lorsque est premier, de telle sorte que, pour une valeur de pour laquelle varie par un saut brusque, on ait,
- ↑ Cette phrase constitue le premier énoncé de « l’hypothèse de Riemann ».
