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PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANN.

Si, maintenant, dans l’expression

$\log \zeta (s)=-\sum \log(1-p^{-s})=\sum p^{-s}+{\frac {1}{2}}\sum p^{-2s}+{\frac {1}{3}}\sum p^{-3s}+\ldots$

on remplace $p^{-s}\,$ par $s\int _{p}^{\infty }x^{-s-1}dx$, $p^{-2s}\,$ = $s\int _{p^{2}}^{\infty }x^{-s-1}dx,\ldots$, on obtient

${\frac {\log \zeta (s)}{s}}=\int \limits _{1}^{\infty }f(x)x^{-s-1}dx$,

où l’on a désigné par $f(x)\,$ l’expression

$\mathrm {F} (x)+{\frac {1}{2}}\mathrm {F} (x^{\frac {1}{2}})+{\frac {1}{3}}\mathrm {F} (x^{\frac {1}{3}})+\ldots$

Cette équation a lieu pour toute valeur complexe $a+bi\,$ de $s$, pourvu que $a>1\,$. Mais lorsque, sous ces hypothèses, l’équation suivante

$g(s)=\int \limits _{0}^{\infty }h(x)x^{-s}d\log x$

a lieu, l’on peut, à l’aide du théorème de Fourier, exprimer la fonction $h$ par la fonction $g$. Cette équation, quand $h(x)\,$ est réel et que

$g(a+bi)=g_{1}(b)+ig_{2}(b),\,$

se décompose en les deux suivantes :

$g_{1}(b)=\int \limits _{0}^{\infty }h(x)x^{-a}\cos(b\log x)d\log x,$

$ig_{2}(b)=-i\int \limits _{0}^{\infty }h(x)x^{-a}\sin(b\log x)d\log x.$

Lorsque l’on multiplie les deux équations par

$\,\left[\cos(b\log y)+i\sin(b\log y)\right]db$,

et que l’on intègre de $-\infty$ à $+\infty$, l’on obtient, en vertu du théorème de Fourier, dans les seconds membres des deux équations $\,\pi h(y)y^{-a}$, et, par conséquent, en ajoutant les deux équations et multipliant par $iy^{a}\,$, on a

$2\pi ih(y)=\int \limits _{a-\infty i}^{a+\infty i}g(s)y^{s}ds$,