IV. — Si enfin les deux premiers cas ne se présentent pas, et si p i <T p2, tout se passe comme dans le cas III : les phénomènes présentent seulement une disposition inverse.
§ VIII.
Pour résoudre notre problème d’une manière générale il faut, d’après le § III, déterminer la fonction tu de telle sorte qu’elle satisfasse aux dérivées partielles
(l) dFàs~md ? +d7J=0
et aux conditions initiales.
Si l’on exclut le cas où des discontinuités se présentent, le temps et le lieu, c’est-à-dire les valeurs de x et de /, pour lesquels le point géométrique correspondant à une valeur déterminée r1 de r rencontre le point géométrique correspondant à une valeur déterminée sf de s, sont complètement déterminés si les valeurs initiales de r et s sont données pour le segment de l’axe des x qui s’étend entre les positions initiales des points géométriques r et et si les équations aux dérivées partielles (3) du § I ont lieu dans toute la multiplicité (S) qui comprend toutes les valeurs de x correspondant aux points intermédiaires entre les points r1 et s pour chaque valeur de t. La valeur de w pour r =r’, s=s' est donc complètement déterminée, si tu satisfait partout dans la multiplicité S à l’équation aux dérivées parlielles (i), et si les valeurs de ^ et ^ sont données pour les valeurs initiales de r et de s. ce qui détermine pour ces valeurs initiales tu à une constante près, et si enfin cette constante a été choisie arbitrairement. En effet, ces conditions ont un sens équivalent aux précédentes. Il résulte aussi du § 111 que, si r garde une valeur constante r, ! le long d’un segment fini, ^ prend des valeurs présentant une différence finie pour ru— o et /+ o, mais que ^ varie partout d’une manière continue avec s ; que, de même, — est continu par rapport a /*,
