et que la fonction w est continue partout à la fois par rapport à r et à s.
Après ces préliminaires, nous pouvons aborder la résolution de notre problème, c’est-à-dire la détermination de w pour deux valeurs arbitraires d et sf de r et de s.
Pour représenter le phénomène prenons x et t comme abscisse et ordonnée d’un point d’un plan et imaginons dans ce plan les courbes r = const. et s = const. Nous désignerons les premières par (/’), les secondes par (s), et sur chacune d’elles nous considérerons comme positive la direction où t va en croissant. La multiplicité (S) est alors représentée par une partie du plan, limitée par la courbe (r'), la courbe (s') et la portion de l’axe des x interceptée entre ces deux courbes, et il s’agit d’obteuir la valeur de o’ au point d’intersection des deux courbes à l’aide des valeurs de ^ données sur ce dernier segment. Nous généraliserons encore un peu le problème, et nous supposerons que le domaine (S), au lieu d’être limité par ce segment, est limité par une courbe arbitraire c, qui ne coupe pas plus d’une fois chacune des courbes (r) et (s) ; on se donne pour les systèmes de valeurs de r et de s, qui correspondent à chaque point de c, les valeurs de ^ et de —• Comme la solution du problème le fera voir, ces valeurs de — et de ^ sont seulement soumises à la condition de varier d’une manière continue avec le point de la courbe, mais peuvent être prises d’ailleurs arbitrairement, tandis que ces valeurs ne seraient pas indépendantes les unes des autres, si la courbe c coupait plus d’une fois l’une des deux courbes (r) et (s).
Pour déterminer des fonctions, qui doivent satisfaire à des équations linéaires aux dérivées partielles et à des conditions linéaires aux limites, on peut employer un procédé absolument analogue à celui qui consiste, dans la résolution d’un système d’équations linéaires, à multiplier toutes les équations par des facteurs indéterminés, puis à les ajouter et à déterminer ensuite ces facteurs de manière à annuler ies coefficients de toutes les inconnues sauf une.
Imaginons la partie (S) du plan partagée en parallélogrammes
