infiniment petits par les courbes (r) et (5), et désignons par 8r et 85 les variations qu’éprouvent les quantités r et a, quand les éléments d’arcs qui forment les côtés de ces parallélogrammes sont parcourus dans le sens positif : ; soit, de plus, v une foncLion arbitraire de r et de s, qui soit partout continue et ait des dérivées continues. En conséquence de l’équation (1), on a alors
(2)
cette intégrale étant étendue à toute la multiplicité (S). Il faut ordonner le second membre de cette équation par rapport aux inconnues, c’est-à-dire ici le transformera l’aide d’intégrations par parties, de sorte qu’il ne contienne plus, en dehors de quantités connues, que la fonction cherchée, mais non ses dérivées. Par cette opération l’intégrale se change en l’intégrale suivante, étendue à la multiplicité S,
[]
et une intégrale simple qui, à cause de la continuité de ^ par rapport à s, de celle de ^ par rapport à r et de celle de w par rapport à r et à s, n’est étendue qu’au contour de (S). Si dretds désignent les variations de r et de s dans un élément du contour de S, ce contour étant parcouru dans une direction telle qu’en chaque point du contour la normale vers l’intérieur présente, par rapport à cette direction, la même disposition que la direction positive des courbes (s) par rapport à la direction positive des courbes (/’), cette intégrale curviligne est égale à
-/ KS- mw)ds+w (£+mv)dr] •
L’intégrale étendue au contour entier de (S ) est égale à la somme des intégrales relatives aux courbes (c), (s'), (r') qui forment ce contour ; donc, en désignant leurs points d’intersection par(c, r’), (c, s'), (r', s’), elle a pour valeur
MA( -h / H- I
