culier les grandeurs étendues, n’a jamais été l’objet d’aucune
étude. En conséquence, je me suis posé d’abord le problème de
construire, en partant du concept général de grandeur, le concept
d’une grandeur de dimensions multiples. Il ressortira de là qu’une
grandeur de dimensions multiples est susceptible de différents
rapports métriques, et que l’espace n’est par suite qu’un cas particulier
d’une grandeur de trois dimensions. Or, il s’ensuit de là
nécessairement que les propositions de la Géométrie ne peuvent
se déduire des concepts généraux de grandeur, mais que les
propriétés, par lesquelles l’espace se distingue de toute autre grandeur
imaginable de trois dimensions, ne peuvent être empruntées
qu’à l’expérience. De là surgit le problème de rechercher les faits
les plus simples au moyen desquels puissent s’établir les rapports
métriques de l’espace, problème qui, par la nature même de l’objet,
n’est pas complètement déterminé ; car on peut indiquer plusieurs
systèmes de faits simples, suffisants pour la détermination
des rapports métriques de l’espace. Le plus important, pour notre
but actuel, est celui qu’Euclide a pris pour base. Ces faits, comme
tous les faits possibles, ne sont pas nécessaires ; ils n’ont qu’une
certitude empirique, ce sont des hypothèses. On peut donc étudier
leur probabilité, qui est certainement très considérable dans
les limites de l’observation, et juger d’après cela du degré de
sûreté de l’extension de ces faits en dehors de ces mêmes limites,
tant dans le sens des immensurablement grands que dans celui
des immensurablement petits.
En essayant maintenant de traiter le premier de ces problèmes, relatif au développement du concept d’une grandeur de dimensions multiples, je me crois d’autant plus obligé de solliciter l’indulgence des lecteurs, que je suis moins exercé dans les travaux philosophiques de cette nature, dont la difficulté réside plutôt dans la conception que dans la construction, et qu’à l’exception de quelques brèves indications données par M. Gauss dans son second Mémoire sur les résidus biquadratiques, dans les
