24 PREMIÈRE PARTIE. — MÉMOIRES PUBLIÉS PAR RIEMANN. en général, à Véquation différentielle c)2 u à* u ôx’1 dy* = o. et cela de telle sorte que : i° Les points où cette équation différentielle n’est pas satisfaite ne forment aucune partie de surface continue ; 2° Les points où il, ^ deviennent discontinues ne forment aucune ligne continue ; 3° Pour chaque point de discontinuité les grandeurs p p ~ deviennent infiniment petites en même temps que la distance p du point O à cette discontinuité ; 4° Et qu7enfin, pour u, soit exclu le cas d’une discontinuité qui serait détruite par une modification de sa valeur en des points isolés : Alors ladite fonction est nécessairement, ainsi que toutes ses dérivées, finie et continue pour tous les points à Vintérieur de cette surface. En effet, considérons le point O0 comme mobile ; les seules valeurs qui varient dans l’expression /( . du dlogr _ log/- - - — m —r— as dp dp j sont à log r à log r log r, àx dy Or ces grandeurs, en chaque élément du contour, tant que O0 reste à l’intérieur de T, sont, ainsi que toutes leurs dérivées, des fonctions finies et continues de .r0, puisque ces dérivées sont exprimées par des fonctions rationnelles fractionnaires de ces grandeurs, fonctions qui ne contiennent au dénominateur que des puissances de r. Il en est donc aussi de même de la valeur de notre intégrale et, par suite, de la fonction u0. En effet, cette dernière, en vertu des hypothèses considérées auparavant, ne pourrait avoir une valeur différente de celle de l’intégrale qu’en des
