FONCTIONS D’UNE GRANDEUR VARIABLE COMPLEXE. 29 i°, 3°, 4° en les conditions du théorème qui termine le § X. La fonction U est donc, ainsi que toutes ses dérivées, finie et continue en tous les points de T, et il en est de même par suite de la fonction complexe w = ^ ^ i, ainsi que de ses dérivées prises par rapport à z.
XIII.
Il s’agit maintenant de rechercher ce qui arrive lorsque, en conservant les autres hypothèses du § XII, nous supposons que pour un certain point O’, à l’intérieur de la surface T, (s — zf) w = p e^ûv ne devient plus infiniment petit lorsque le point O se rapproche indéfiniment du point 0 ;. En ce cas, O se rapprochant indéfiniment de O’, w devient infiniment grand, et, lorsque la grandeur w ne reste pas d’ordre égal à celui de - (nous entendons par là que le quotient des deux ne tend pas vers une limite finie), nous supposerons que les ordres des deux grandeurs restent au moins en rapport fini entre eux, de telle sorte que l’on peut assigner une puissance de p dont le produit par (F, pour p infiniment petit, devient infiniment petit, ou bien reste fini. Soit p. l’exposant d’une telle puissance et n le nombre entier qui lui est immédiatement supérieur ; alors la grandeur (5 — zf)”w = deviendra infiniment petite avec p et, par conséquent, (s — z’)n~sw est une fonction de z ^puisque — — est indépendant de dz^j qui, en celle partie de la surface, satisfait aux hypothèses du § XII et, par suite, est finie et continue au point O’. Désignons sa valeur au point O’ par an_K ; alors (z — (V — a
n-~
est une fonction qui est continue et égale à zéro en Or et qui, par suite, devient infiniment petite avec p ; d’où nous tirons cette conclusion, d’après le § XII, que (z — z’)n~2iv (PlJL) est une z — z
fonction continue au point 0 En procédant ainsi de proche en
