Ces conditions suffisent pour déterminer k h- vù En effet, cela résulte de ce que ja, à l’aide de laquelle v est déterminée à une constante addidve près, fournit toujours également un minimum de l’intégrale Q, puisque, en posant a-+- ul, l’on a pour chaque lambda évidemment N = 0 ; propriété qui, d’après le § XVI, n’a lieu que pour une seule fonction.
Les principes qui servent de base au théorème qui termine le paragraphe précédent ouvrent la voie pour l’étude de fonctions déterminées d’une variable complexe (indépendamment d’une expression explicite de ces fonctions).
Pour s’orienter dans ce champ de recherches, l’on fera usage d’une estimation comparative de l’ensemble des conditions nécessaires à la détermination d’une pareille fonction à l’intérieur d’un domaine donné.
Arrêtons-nous d’abord à un cas déterminé ; lorsque la surface qui recouvre le plan A et qui représente ce domaine de grandeurs est une surface simplement connexe, la fonction w = u+vi de z peut être déterminée conformément aux conditions suivantes :
1o Pour u l’on donne la valeur en tous les points du contour, valeur qui, pour une variation infiniment petite de la position, variera d’une grandeur infiniment petile de même ordre, mais du reste d’une manière quelconque [1] ;
2o En un point quelconque, la valeur de v est donnée arbitrairement ;
3o La fonction doit être partout finie et continue.
Mais, sous ces conditions, la fonction est complètement déterminée.
En effet, cela résulte du théorème du paragraphe précédent,
- ↑ Les variations de cette valeur sont à vrai dire soumises seulement à la restriction de ne pas être discontinues le long d’une partie entière du contour ; on a fait une restriction ultérieure dans le seul but d’éviter ici des complications inutiles. — (Riemann.)
