lorsque l’on détermine a + ce qui est toujours possible, de telle sorte que a soit égale, sur le contour, à la valeur donnée et que sur toute la surface, pour toute variation infiniment petite de la position, la variation de a + soit infiniment petite de même ordre.
La fonction u peut être par conséquent donnée sur le contour en général comme fonction toute arbitraire de s, et ce fait détermine partout en même temps v ; réciproquement, v peut être prise aussi quelconque en tous les points de l’encadrement ; d’où l’on conclut alors les valeurs de u.
Le champ d’évolution pour le choix des valeurs de sur le contour embrasse donc un ensemble à une dimension pour chaque point de l’encadrement, et la détermination complète de ces valeurs nécessite une équation pour chaque point de l’encadrement, sans qu’il soit toutefois essentiel que chacune de ces équations soit uniquement relative à la valeur d’un terme en un point de l’encadrement.
Cette détermination peut aussi être effectuée de telle sorte que pour chaque point de l’encadrement une équation contenant les deux termes et variant de forme d’une manière continue avec la position du point soit donnée ; ou bien la détermination peut être effectuée simultanément pour plusieurs parties d’encadrement, de telle sorte qu’à chaque point d’une de ces parties soient associés n -1 points déterminés, dont chacun tire son origine d’une des autres parties respectives, et de telle façon qu’alors pour chaque groupe de n points ainsi associés soit donné un groupe de n équations, variant d’une manière continue avec la situation de ces points. Mais ces conditions, dont la totalité forme une variété continue, et qui sont exprimées par des équations entre des fonctions arbitraires, doivent encore, en général, pour être admissibles et suffisantes à la détermination d’une fonction partout continue à l’intérieur du domaine de grandeurs, être soumises à une restriction ou bien à une extension qui sont données par des équations de condition particulières (équations relatives aux constantes arbitraires), car l’exactitude de nos estimations ne s’étend pas évidemment jusqu’à ce dernier point relatif aux constantes.
Dans le cas où le domaine de variabilité de la grandeur z est représenté par une surface multiplement connexe, ces considéra-
