La notation adoptée dans la présente œuvre est fondée sur celle de Peano, et les explications suivantes sont dans une certaine mesure modelées sur celles qu’il a préfixées dans son Formulario Mathematico. Son utilisation des points comme des crochets a été adoptée, ainsi que nombre de ses symboles.
Variables. L’idée de variable, telle qu’elle apparaît dans la présente œuvre, est plus générale que celle qui est généralement utilisée dans les mathématiques ordinaires. Dans les mathématiques ordinaires, une variable représente généralement un nombre indéterminé ou une quantité indéterminée. En logique mathématique, on appelle variable tout symbole dont la signification n’est pas déterminée, et on appelle valeurs de la variable les diverses déterminations que sa signification est susceptible d’adopter. Les valeurs peuvent être un ensemble quelconque d’entités, de propositions, de fonctions, de classes, de relations, compte tenu des circonstances. Si une assertion est faite sur « Monsieur A et Monsieur B », « Monsieur A » et « Monsieur B » sont des variables dont les valeurs sont limités aux hommes. Une variable peut soit posséder une plage de valeurs attribuées conventionnellement, soit (en l’absence de toute indication de la plage de valeurs) posséder comme plage pour ses valeurs toutes les déterminations qui rendent l’assertion dans laquelle elle se produit significative. Ainsi quand un manuel de logique affirme que « A est A », sans indication sur ce que A peut être, cela signifie est que toute assertion de la forme « A est A » est vraie. Nous dirons qu’une variable est restreinte lorsque ses valeurs sont confinées à une partie seulement de celles dont elle est capable, sinon, nous dirons qu’elle est non-restreinte. Ainsi lorsqu’une variable non-restreinte intervient, elle représente tout objet tel que l’assertion concerné peut être significative (c’est-à-dire soit vrai soit fausse) étant donné cet objet.
Pour les propos de la logique, la variable non-restreinte est plus commode que la variable restreinte, et nous l’emploierons. Nous verrons que la variable non-restreinte est encore sujette à des limitations imposées par la façon dont elle intervient, c’est-à-dire les choses qui peuvent être dites significativement concernant une proposition ne peuvent pas être dites significativement pour une classe ou une relation, etc. Mais les limitations auxquelles une variable non-restreinte est sujette n’ont pas besoin d’être explicitement indiquées, puisqu’elles sont les limites de signifiance de l’assertion dans laquelle la variable intervient, et par suite est intrinsèquement déterminé par l’assertion. Ceci sera expliqué plus en détails plus loin[1].
- ↑ Voir Chapitre 2 de l’introduction
