Études sur le frottement des liquides

Berthelot, Pasteur, Friedel, Becquerel, Mascart

Annales de chimie et de physique

G. MASSON, 1890 (6-21, p. 433-510).

ÉTUDES SUR LE FROTTEMENT DES LIQUIDES ;

Par M. M. COUETTE.

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INTRODUCTION.

Les nombreuses recherches^[1] faites jusqu’à ce jour pour trouver des relations entre le coefficient de frottement intérieur et les autres propriétés physiques ou la constitution chimique des liquides n’ont encore conduit à aucune de ces lois qui conquièrent une place dans la Science par leur certitude expérimentale ou par leur adaptation exacte à une théorie. Avant donc d’entreprendre sur le même terrain des investigations nouvelles, j’ai cru prudent de soumettre à un examen attentif les deux questions fondamentales suivantes :

1^o Le coefficient de frottement intérieur est-il une grandeur physique bien définie ?

2^o Quelles règles faut-il suivre pour en obtenir la valeur ?

Ces questions ne me paraissaient pas suffisamment élucidées par les travaux antérieurs. En effet :

1^o Quelle que soit la théorie d’où l’on déduise les équations de Navier^[2], ce qu’on appelle coefficient de frottement intérieur, c’est le coefficient $\varepsilon$ des dérivées secondes qui y figurent. Ce coefficient, qui se présente ainsi d’abord comme un terme abstrait de Mécanique rationnelle, ne pourra être pris pour mesure d’une propriété physique des liquides réels que si l’on a dûment constaté la conformité entre leurs mouvements et ces équations. Or cette constatation n’avait guère été faite que pour la première série des expériences de Poiseuille^[3] ; la seconde série et surtout les tuyaux de conduite fournissaient des résultats tout différents. Que fallait-il donc penser de l’exactitude et de la généralité des équations de Navier ? Étaient-elles l’expression simplement approchée des mouvements des fluides ? Pouvaient-elles, au contraire, les représenter avec exactitude dans certains cas particuliers et se trouver en défaut dans d’autres cas ? La définition même du coefficient de frottement intérieur et les règles à suivre dans sa mesure dépendaient étroitement de la réponse à ces questions. Or voici celle qui découle de mes recherches : Le mouvement des liquides peut se faire suivant deux régimens différents : le premier est exactement conforme aux intégrales les plus simples des équations de Navier ; le second n’est pas conforme à ces intégrales. Donc le coefficient $\varepsilon$ des équations de Navier représente bien une propriété des liquides réels ; et, dans les expériences destinées à le mesurer, il faut réaliser le premier régime.

La distinction des deux régimes, déjà nettement défini par Darcy^[4] en 1857, a été fort bien établie par M. Osborne Reynolds^[5] en 1883. J’ai retrouvé, par des méthodes expérimentales différentes, les mêmes résultats que ces auteurs, et je les ai complétés en insistant sur la discontinuité des deux régimes et en signalant la phase où ils se produisent alternativement.

La première moitié de ce Mémoire est relative à la distinction des deux régimes. Le Chapitre i contient les expériences faites avec l’appareil à cylindres, et le Chapitre ii les expériences sur l’écoulement dans les tubes.

2^o Pour justifier l’utilité d’une révision des méthodes de mesure, il me suffira de rappeler la discordance des résultats donnés par des auteurs divers ou par des méthodes différentes. Ainsi les nombres obtenus avec le disque oscillant présentent souvent un excès relatif de plus de ${\tfrac {1}{10}}$ sur ceux que donne l’écoulement dans les tubes. Cette dernière méthode fournit elle-même des résultats variables quand on n’élimine pas correctement l’influence des extrémités.

Le Chapitre iii est consacré à l’étude de cette influence. Enfin, dans le Chapitre iv de la Thèse d’où le présent Mémoire est extrait, j’ai repris la théorie de la méthode des oscillations, et j’ai essayé d’y apporter plus de clarté et de généralité.

Cette longue théorie mathématique ne serait pas à sa place dans les Annales. Elle conclut au rejet de la méthode des oscillations pour les fluides où le second régime se produit facilement, et donne pour les autres les formules destinées au calcul des expériences.

On trouvera, en outre, dans ce Mémoire quelques études qui se relient moins étroitement à son objet principal, mais que je n’ai pas cru devoir négliger quand elles se sont présentées : telles sont l’application de l’appareil à cylindres à la mesure du coefficient de frottement intérieur de l’air, la recherche expérimentale des lois du second régime dans les tubes, et les expériences sur le frottement extérieur.

Les unités adoptées dans ce travail sont celles du système C.G.S.

CHAPITRE i.
expériences avec l’appareil à cylindres.

1. Les équations de Navier n’ont été intégrées que dans un bien petit nombre de cas dont voici l’énumération :

1^o Écoulement dans un tube cylindrique de longueur indéfinie, et dont la section peut avoir différentes formes ;

2^o Entraînement d’un liquide compris entre un plan indéfini ou un cylindre indéfini fixe et un second plan ou cylindre indéfini parallèle au premier et animé d’un mouvement de translation uniforme parallèlement à ses génératrices ;

3^o Entraînement d’un liquide compris entre deux cylindres indéfinis concentriques, l’un fixe, l’autre animé d’un mouvement de rotation uniforme ;

4^o Entraînement d’un liquide compris entre deux surfaces de révolution coaxiales et très voisines, l’une fixe, l’autre animée d’un mouvement de rotation uniforme ;

5^o Oscillations tournantes d’un solide de révolution en contact avec le liquide.

Dans ces deux derniers cas, le calcul ne se fait qu’approximativement, et sous la condition expresse qu’on puisse négliger les effets de la force centrifuge. Ils peuvent servir à la mesure des coefficients de frottement intérieur et au contrôle de la théorie par la comparaison des nombres qu’ils fournissent avec ceux que donnent les autres méthodes. Mais on ne peut y avoir recours pour l’étude des mouvements rapides qui sont précisément ceux auxquels l’application de la théorie de Navier est le plus douteuse.

Le deuxième cas ne paraît pas réalisable.

Restent donc le premier et le troisième, qu’on ne peut pas, il est vrai, réaliser non plus, puisqu’ils supposent des corps indéfinis, mais auxquels on ramène facilement les phénomènes observés avec des appareils de dimensions finies. De là découlent les deux méthodes expérimentales que j’ai employées.

2. La rotation d’un liquide visqueux entre deux cylindres a été étudiée théoriquement par Stokes^[6] (1845), de Saint-Venant^[7] (1847-1872) et M. Boussinesq^[8] (1873). Je vais reprendre ici le calcul en le déduisant directement des équations de Navier. J’aurai d’ailleurs besoin au Chapitre iv des formules que je vais poser dès maintenant.

Les équations de Navier^[9] sont

(1)

$\left\{{\begin{aligned}&\rho \left(\mathrm {X} -{\frac {du}{dt}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial x}}+\varepsilon \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)=0,\\&\rho \left(\mathrm {Y} -{\frac {dv}{dt}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial y}}+\varepsilon \left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}\right)=0,\\&\rho \left(\mathrm {Z} -{\frac {dw}{dt}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial z}}+\varepsilon \left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}\right)=0,\end{aligned}}\right.$

auxquelles il faut joindre l’équation de continuité

(2)

${\frac {du}{dx}}+{\frac {dv}{dy}}+{\frac {dw}{dz}}=0.$

$\varepsilon$ est le coefficient de frottement intérieur ; les autres rotations sont les notations habituelles de l’Hydrodynamique.

Ces équations se rapportent à trois axes de coordonnées rectangulaires ; nous allons les transformer pour un système de coordonnées cylindriques ayant pour axe l’axe des $z.$ À cet effet nous poserons

$\left\{{\begin{aligned}x&=r\cos \theta ,\\y&=r\sin \theta ,\\z&=z.\end{aligned}}\right.\quad \left\{{\begin{aligned}{\tfrac {dr}{dt}}&=a,\\{\tfrac {d\theta }{dt}}&=\omega ,\\{\tfrac {dz}{dt}}&=w,\end{aligned}}\right.$

et nous aurons par suite

${\begin{aligned}u&=c\cos \theta -r\omega \sin \theta ,\\v&=a\sin \theta -r\omega \cos \theta ,\\w&=w.\end{aligned}}$

Nous ne considérerons que le cas où le mouvement est le même dans tous les azimuts, ce qui s’exprime par les conditions

${\frac {\partial a}{\partial \theta }}=0,\quad {\frac {\partial \omega }{\partial \theta }}=0,\quad {\frac {\partial w}{\partial \theta }}=0,\quad {\frac {\partial p}{\partial \theta }}=0.$

Nous supposerons enfin les forces extérieures réduites à la pesanteur, et l’axe des $z$ vertical et dirigé de haut en bas ; donc

$\mathrm {X} =0,\quad \mathrm {Y} =0,\quad \mathrm {Z} =g.$

En partant de ces données, on arrive par des calculs faciles, mais assez longs, que nous ne reproduirons pas, aux trois équations suivantes, qui remplacent les équations (1)

(3)

$\left\{{\begin{aligned}&-\rho \left({\frac {\partial a}{\partial t}}+a{\frac {\partial a}{\partial r}}+w{\frac {\partial a}{\partial z}}-r\omega ^{2}\right)-{\frac {\partial p}{\partial r}}\\&\qquad +\varepsilon \left({\frac {\partial ^{2}a}{\partial r^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}a}{\partial z^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial a}{\partial r}}-{\frac {a}{r^{2}}}\right)=0,\\&-\rho r\left({\frac {\partial \omega }{\partial t}}+a{\frac {\partial \omega }{\partial r}}+w{\frac {\partial \omega }{\partial z}}-2{\frac {a}{r}}\omega \right)\\&\qquad +\varepsilon \left(r{\frac {\partial ^{2}\omega }{\partial r^{2}}}+r{\frac {\partial ^{2}\omega }{\partial z^{2}}}+3{\frac {\partial \omega }{\partial r}}\right)=0,\\&\rho \left(g-{\frac {\partial w}{\partial t}}-a{\frac {\partial w}{\partial r}}-w{\frac {\partial w}{\partial z}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial z}}\\&\qquad +\varepsilon \left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial r^{2}}}+{\frac {1}{r}}{\frac {\partial ^{2}w}{\partial r}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}\right)=0,\end{aligned}}\right.$

avec l’équation de continuité

(4)

${\frac {\partial a}{\partial r}}+{\frac {a}{r}}+{\frac {\partial w}{\partial z}}=0.$[10]

3. Passons maintenant au cas particulier qui nous occupe, et supposons que le liquide soit divisé en couches cylindriques infiniment minces, indéformables, tournant d’un mouvement uniforme. Cela nous donne les conditions

$a=0,\quad {\frac {\partial \omega }{\partial z}}=0,\quad w=0,\quad {\frac {\partial \omega }{\partial t}}=0.$

Les équations (3) sont ainsi réduites aux suivantes

(5)

$\rho r\omega ^{2}-{\frac {\partial p}{\partial r}}=0,$

(6)

$r{\frac {d^{2}\omega }{dr^{2}}}+3{\frac {d\omega }{dr}}=0,$

(7)

$\rho g-{\frac {\partial p}{\partial z}}=0,$

et l’équation (4) devient une identité.

Les équations (7) et (5) indiquent les variations de la pression sous l’action de la pesanteur et de la force centrifuge. L’équation (6) exprime la loi suivant laquelle la vitesse angulaire varie d’une couche à l’autre ; elle s’intègre facilement et devient ainsi

(8)

$\omega =\mathrm {A} +{\frac {\mathrm {B} }{r^{2}}}.$

Nous déterminerons les constantes $\mathrm {A}$ et $\mathrm {B}$ par les conditions

$\omega =0$ pour $r=\mathrm {R} _{0}$

et

$\omega =\Omega$ pour $r=\mathrm {R} _{1},$

ce qui donne à l’équation (8) la forme

(9)

$\omega =\Omega {\frac {{\frac {1}{\mathrm {R} _{0}^{2}}}-{\frac {1}{r}}}{{\frac {1}{\mathrm {R} _{0}^{2}}}-{\frac {1}{\mathrm {R} _{1}^{2}}}}}.$

Toutes les conditions de notre analyse semblent devoir être réalisées quand le liquide est compris entre deux cylindres solides de longueur indéfinie et de rayons $\mathrm {R} _{0}$ et $\mathrm {R} _{1},$ le premier immobile et le second animé d’une vitesse angulaire constante $\Omega \ ;$ pourvu qu’en même temps le liquide qui se trouve au contact immédiat des parois y adhère sans aucun glissement.

4. Évaluons le frottement qu’il y exerce. Par raison de symétrie, ce frottement a évidemment une valeur constante pour tous les éléments de surface égaux d’un même cylindre limite. Il nous suffira donc de considérer un seul de ces éléments ; soit l’élément $d\omega$ perpendiculaire à l’ancien axe des $x.$ Le frottement sur cet élément se réduit évidemment à la composante^[11]

$\mathrm {Y} _{x}d\omega$

parallèle à l’axe des $y\ ;$ et l’on a^[12]

$\mathrm {Y} _{x}=\varepsilon \left({\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}\right).$

En ramenant cette dernière expression aux coordonnées cylindriques, on a

${\frac {\partial u}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial x}}=2\left({\frac {\partial a}{\partial r}}-{\frac {a}{r}}\right)\sin \theta \cos \theta +r{\frac {\partial \omega }{\partial r}}\left(\cos ^{2}\theta -\sin ^{2}\theta \right).$

Remarquant enfin que pour l’élément considéré $\theta =0,$ on trouve pour expression du frottement sur cet élément, et, comme nous l’avons dit, sur tout autre de même surface,

$\varepsilon r{\frac {d\omega }{dr}}d\omega .$

Si l’élément est pris à la surface du cylindre de rayon $\mathrm {R} _{0},$ on a

$r=\mathrm {R} _{0},\quad {\frac {d\omega }{dr}}={\frac {2\Omega \mathrm {R} _{1}^{2}}{\mathrm {R} _{0}\left(\mathrm {R} _{1}^{2}-\mathrm {R} _{0}^{2}\right)}}.$

Le frottement total sur une tranche de hauteur $h$ prise dans ce cylindre est donc

${\frac {4\pi \omega \mathrm {R} _{1}^{2}\mathrm {R} _{0}h\varepsilon }{\mathrm {R} _{1}^{2}-\mathrm {R} _{0}^{2}}},$

et le moment de ce frottement par rapport à l’axe de rotation est

(10)

$\mathrm {M} ={\frac {4\pi \omega \mathrm {R} _{1}^{2}\mathrm {R} _{0}^{2}h\varepsilon }{\mathrm {R} _{1}^{2}-\mathrm {R} _{0}^{2}}}.$

Le calcul donne exactement la même expression pour le moment du frottement sur une tranche de même hauteur $h$ prise dans l’autre cylindre ; c’est un résultat qu’on aurait pu d’ailleurs établir a priori comme condition de l’uniformité du mouvement.

5. Le problème expérimental est de mesurer le moment $\mathrm {M} .$ Pour le faire, j’ai pris comme paroi fixe un cylindre de rayon $\mathrm {R} _{0}$ et de hauteur finie $h,$ auquel j’ai laissé une certaine mobilité autour de son axe, et que j’ai maintenu en repos en équilibrant le frottement du liquide par la torsion d’un fil ou par des poids dont je dirai plus loin la disposition. Afin de pouvoir considérer sa surface comme découpée dans un cylindre indéfini, je l’ai prolongée par des cylindres de garde, et j’ai donné au cylindre tournant une hauteur supérieure à la hauteur totale des cylindres fixes.

Il est nécessaire d’empêcher, à l’aide de pivots ou de moyens équivalents, les déplacements latéraux du cylindre suspendu, car son équilibre est instable relativement à ce genre de déplacements. Supposons en effet qu’une cause quelconque ait produit une légère excentricité $\mathrm {OO'}$ (fig. 1). L’intervalle des deux cylindres étant plus petit dans la région $\mathrm {A}$ que dans la région $\mathrm {B} ,$ les frottements sont plus grands dans la première que dans la seconde. La composition des frottements exercés sur le cylindre suspendu donne donc, outre le couple qui tend à le faire tourner autour de son axe, une résultante perpendiculaire à la droite $\mathrm {OO'}$ et dirigée dans le même sens que le frottement en $\mathrm {A} .$ D’autre part, les pressions sont plus grandes dans la région $\mathrm {BCA}$ que dans la région $\mathrm {ADB} .$ En effet, sous la seule action de

Fig 1.

l’entraînement produit par le cylindre extérieur, le volume de liquide qui traverserait la section $\mathrm {BF}$ serait plus grand que celui qui traverserait pendant le même temps la section $\mathrm {AE} .$ Si les cylindres sont indéfinis, le liquide se comprime donc en $\mathrm {BCA}$ et se décomprime en $\mathrm {ADB} ,$ jusqu’à ce que la différence de pression ainsi produite provoque en $\mathrm {AE}$ un écoulement de même sens que l’entraînement, et en $\mathrm {BF}$ un écoulement de sens contraire, de manière rétablir l’égalité des débits. Cet effet est fort atténué par les dérivations quand le cylindre suspendu n’a qu’une faible hauteur ; aussi le négligerons-nous dans le paragraphe suivant. Dans tous les cas, la résultante des pressions agit dans le même sens que celle des frottements, et, sous l’action de ces deux forces, le cylindre éprouve, s’il n’est pas maintenu, un déplacement $\mathrm {OO'}$ tel qu’elles soient équilibrées par la résultante de son poids et de la tension du fil. Mais dans cette nouvelle position l’excentricité est devenue $\mathrm {O'O''} >\mathrm {OO'} \ ;$ il en résultera un nouveau déplacement $\mathrm {O''O'''} ,$ et ainsi de suite.

Le montage du cylindre intérieur doit donc satisfaire à trois conditions difficiles à concilier :

1^o Fixité relativement aux déplacements perpendiculaires à son axe ;

2^o Extrême mobilité autour de cet axe ;

3^o Concentricité avec le cylindre extérieur.

6. Évaluons par un calcul approximatif l’effet d’une excentricité légère. Supposons d’abord les deux axes parallèles, mais non coïncidants. Soient $a=\mathrm {R} _{1}-\mathrm {R} _{0}$ l’épaisseur moyenne de la couche liquide, et $ma=\mathrm {OO'}$ la distance des deux axes ; $m$ est un nombre compris entre 0 et 1. Je me limite au cas où le rapport ${\tfrac {a}{\mathrm {R} _{0}}}$ est très petit ; sa valeur dans mon appareil est ${\tfrac {1}{58}}$ environ. Le mouvement du liquide compris dans l’élément de volume de hauteur $h,$ limité par les deux cylindres, et par deux plans menés par l’axe du cylindre fixe et faisant entre eux l’angle $d\theta ,$ doit alors être à fort peu près le même que si ce liquide était compris entre deux plans parallèles distants de $\mathrm {MM'} ,$ l’un fixe, l’autre animé de la vitesse $\Omega \mathrm {R} _{1}.$ Le frottement qu’il exerce sur l’élément de surface $h\mathrm {R} _{0}d\theta$ du cylindre intérieur est donc

$\varepsilon h\mathrm {R} _{0}d\theta {\frac {\Omega \mathrm {R} _{1}}{\mathrm {MM'} }},$

et le moment du frottement total supporté par le cylindre intérieur est

$\mathrm {M} =\varepsilon \omega h\mathrm {R} _{0}^{2}\mathrm {R} _{1}\int _{0}^{2\pi }{\frac {d\theta }{\mathrm {MM'} }}.$

On a d’après la figure

${\overline {\mathrm {O'M'} }}^{2}={\overline {\mathrm {OM'} }}^{2}+{\overline {\mathrm {OO'} }}^{2}-\mathrm {OM'} \times \mathrm {OO'} \cos \theta ,$

c’est-à-dire

$\left(\mathrm {R} _{0}+a\right)^{2}=\left(\mathrm {R} _{0}+\mathrm {MM'} \right)^{2}+m^{2}a^{2}-2\left(\mathrm {R} _{0}+\mathrm {MM'} \right)ma\cos \theta ,$

et l’on tire de cette relation, en négligeant les termes de l’ordre de $\left({\tfrac {a}{\mathrm {R} _{0}}}\right)^{2},$

$\mathrm {MM'} =a\left(1+m\cos \theta \right).$

Donc

$\mathrm {M} ={\frac {\varepsilon \Omega g\mathrm {R} _{0}^{2}\mathrm {R} _{1}}{a}}\int _{0}^{2\pi }{\frac {d\theta }{1+m\cos \theta }}$^[13]

ou enfin

(11)

$\mathrm {M} ={\frac {2\pi \varepsilon \Omega h\mathrm {R} _{0}^{2}\mathrm {R} _{1}}{a{\sqrt {1-m^{2}}}}}.$

Si les axes des deux cylindres ne sont pas exactement parallèles, nous décomposerons le cylindre intérieur en tranches infiniment minces perpendiculaires à l’axe du cylindre extérieur. L’excentricité relative $m$ de chaque tranche sera alors fonction de sa distance $z$ à une origine arbitraire, et l’équation (11) sera remplacée par

(12)

$\mathrm {M} ={\frac {2\pi \varepsilon \Omega \mathrm {R} _{0}^{2}\mathrm {R} _{1}}{a}}\int _{z_{0}}^{z_{0}+h}{\frac {dz}{\sqrt {1-m^{2}}}}.$

Cette formule nous conduit aux remarques suivantes :

1^o L’excentricité n’empêche pas la proportionnalité du moment $\mathrm {M}$ à la vitesse de rotation $\Omega ,$ et au coefficient de viscosité $\varepsilon .$

2^o Le moment $\mathrm {M}$ est un minimum lorsque $m$ est nul pour toutes les tranches, c’est-à-dire lorsque les cylindres sont exactement conaxiaux.

3^o En ne tenant pas compte de l’excentricité, on commet sur $\varepsilon$ une erreur relative par excès très faible, pourvu qu’on ait approximativement réalisé le centrage. En particulier, si les axes sont parallèles et l’excentricité relative égale à $m,$ l’erreur relative commise sur $\varepsilon$ est égale à ${\tfrac {m^{2}}{2}}.$

7. Mon appareil a été construit par M. Ducretet et complété par moi dans quelques détails. Ses parties principales sont :

1^o Le socle en fonte S (fig. 2 et 3), qui est carré et a 50^cm de côté. Il est porté par quatre vis calantes. Au centre est vissée une crapaudine en bronze C qu’on peut élever plus ou moins, puis immobiliser en serrant un contre-écrou. Elle est percée suivant son axe d’un canal par lequel l’huile arrive constamment du graisseur G. Une arcade A, venue de fonte avec le socle, porte deux coussinets en bronze, dont le serrage est réglé par des vis.

2^o La partie tournante qui se compose d’un arbre vertical d’acier T supportant un vase cylindrique de laiton V.

Fig. 2

Élévation ¹/₁₀

Fig. 3

Plan ¹/₂₀

L’arbre, muni d’une pointe conique et d’un épaulement E

(fig. 4), est maintenu entre la crapaudine et les coussinets.

Fig. 4.

Il porte, au-dessous de l’arcade, un volant de fonte F et une poulie à gorge P, et au-dessus de l’arcade le vase cylindrique V. Celui-ci, très solidement fixé à l’arbre, a été tourné avec le plus grand soin et terminé sur l’arbre même, de sorte qu’il tourne aussi rigoureusement que possible autour de son axe de figure. Sur la tranche supérieure de ce vase, on fixe avec trois vis v et un peu de mastic, un anneau plat a formant couvercle ; qui empêche la projection du liquide par la force centrifuge.

3^o Les anneaux de g, g’ et leurs supports. Chaque anneau est un cylindre de cuivre, soigneusement tourne extérieurement au même diamètre que le cylindre suspendu et soudé (avant le tournage) à un disque de même métal le disque d’ de l’anneau inférieur est plein pour arrêter la propagation du mouvement imprimé au liquide par le fond du vase tournant ; le disque supérieur d est percé de trois grandes fenêtres. Les deux disques sont solidement réunis par trois entretoises verticales de bronze B, qui se prolongent au-dessus du disque supérieur par trois tiges d’acier filetées t. Celles-ci traversent un trépied en fonte M et sont arrêtées au-dessus par trois écrous e, de sorte que le trépied et les anneaux de garde constituent un système solide. Le trépied repose par trois vis calantes sur des piliers en maçonnerie P, entre lesquels est placé le socle.

4^o Le cylindre suspendu s. Il est muni d’un disque évidé d’’ semblable à celui de l’anneau supérieur. Les entretoises traversent les fenêtres de ce disque, ce qui laisse au cylindre suspendu une mobilité angulaire d’environ 80°. Au centre du disque est fixée une petite tige de laiton l percée d’un trou de 4^mm de diamètre conaxial au cylindre.

Il y avait un jeu d’à peu près 1^mm entre les bords du cylindre et ceux des anneaux. Pour diminuer encore la propagation du mouvement à l’intérieur, le cylindre et les anneaux s’emboîtaient comme le montre la figure.

5^o Le système de suspension. — Un trépied en bois (non figuré) de 2^m de hauteur, fixé au sol en HHH, porte un cercle divisé horizontal dont le centre est sur l’axe de l’appareil tournant. Une pièce centrale tourne sur ce cercle et porte : 1^o une alidade ; 2^o une pince qu’on peut déplacer verticalement au moyen d’une vis de rappel. Dans cette pince est fixé un fil d’acier (corde de piano) dont le diamètre est 0^mm,4 et la longueur 1^m,30 environ. Il est serré à sa partie inférieure dans une seconde pince qui porte une poulie horizontale en ébonite r et une tige d’acier verticale h de 4^mm de diamètre. Cette tige traverse le trou central du cylindre suspendu auquel elle est fixée par une vis de pression v’. La partie inférieure de cette tige est réduite à ${\tfrac {1}{2}}$ millimètre de diamètre ; elle tourne un peu librement dans un trou pratiqué dans une pièce d’acier c’ placée au centre de l’anneau de garde inférieur. La pointe de la tige n’appuie pas sur le fond du trou. Le fil, immédiatement au-dessus de la pince inférieure, traverse un tube de verre n de 1^cm de longueur et d’un diamètre à peine supérieur au sien fixé au trépied de fonte. Ces dispositions ont pour but d’empêcher les déplacements latéraux du cylindre suspendu.

La poulie d’ébonite est munie d’une aiguille (non figurée) qui se déplace devant un arc gradué. Quand le moment du frottement est faible, on l’équilibre par la torsion du fil de suspension, qu’on mesure sur le cercle divisé supérieur. Quand il est plus fort, on emploie la disposition suivante.

6^o Les poulies de machines d’Atwood. Il y en a deux ; elles sont disposées comme dans l’appareil de Joule ; les fils, fixés et enroulés sur la poulie d’ébonite, passent sur les poulies d’Atwood et portent de petits plateaux où l’on met des poids ; les deux fils tendent à faire tourner le cylindre suspendu dans le même sens, qui est inverse de celui du mouvement du liquide ; on répartit à peu près également les poids entre les deux plateaux pour éviter les pressions latérales sur l’axe de suspension.

7^o Le Moteur est une machine magnéto-électrique Gramme-Bréguet, actionnée par des accumulateurs Gadot. Des poulies de transmission supplémentaires permettaient de donner an cylindre tournant une vitesse angulaire bien inférieure à celle du moteur. On faisait varier cette dernière en modifiant le nombre des accumulateurs ou la résistance du circuit.

8^o L'enregistreur Marey sur lequel s’inscrivent électriquement les tours. À cet effet, la poulie de l’appareil tournant est munie de deux plaques demi-circulaires, l’une de cuivre, l’autre d’ébonite. La première communique d’une manière permanente avec la masse métallique de l’appareil et par conséquent avec une borne vissée dans l’arcade. Elle se trouve de plus en contact pendant la moitié de chaque tour avec un ressort, isolé électriquement de l’appareil et communiquant avec une autre borne. Un circuit qui comprend une pile au bichromate et les bobines de l’enregistreur aboutit à ces deux bornes. De cette façon, chaque tour s’inscrit par deux crochets de sens contraires et de longueurs à peu près égales. Comme on ne peut pas compter sur une régularité parfaite du mouvement de l’enregistreur, on inscrit les tours pendant un intervalle de temps (ordinairement une minute) donné par un chronomètre de Bréguet. Cet instrument bat la demi-seconde. Cinq secondes avant le commencement de l’inscription, on commence à compter en mesure avec lui un, deux, etc., et, en disant dix, on tourne brusquement le commutateur qui met l’appareil tournant dans le même circuit que l’enregistreur qu’on a mis en mouvement depuis environ 15 secondes. On opère de même pour terminer l’inscription. Pour évaluer la fraction de tour du commencement et celle de la fin, on trace un crochet supplémentaire, en disposant les communications électriques conformément au schéma ci-dessous.

Avant l’expérience, la communication est établie entre les bornes 1 et 2 (fig. 5) ; pour commencer l’inscription, on l’établit entre 1 et 3 ; pendant le mouvement même du commutateur, toute communication se trouve supprimée pendant un instant. Il résulte de ces dispositions l’un des deux tracés ci-joints (fig. 6).

Fig. 5

P, pile. — E, enregistreur. — I, interrupteur placé sur l’appareil tournant. — C, commutateur.

Le premier I représente une expérience commencée pendant que le ressort de l’interrupteur était sur la plaque d’ébonite ; l’autre II, une dans laquelle il était sur le cuivre. Dans les deux cas, l’inscription commence au point précis a où la ligne cesse d’être droite. La fin donne lieu à des observations semblables. La fraction de tour s’évalue en prenant le rapport de la longueur AB qui la représente à celle BC qui représente un tour entier.

Fig. 6

8. Je vais donner maintenant quelques détails sur le montage de l’appareil et sur la mesure de ses dimensions.

Le trépied de bois étant en place et le cercle divisé établi horizontalement, j’ai fixé dans la pince supérieure un fil à plomb ; puis, j’ai disposé le socle et la partie tournante de façon que l’axe de rotation fût vertical et que le fil à plomb tombât juste au centre du fond du vase, lequel était marqué par le trou conique O sur lequel la pièce avait été tournée. La verticalité de l’axe se réglait par la méthode connue, à l’aide d’un niveau a bulle d’air.

Pour mesurer le diamètre du vase, j’ai mis au-dessus de lui un cathétomètre, la colonne horizontale, la lunette verticale visant le centre du fond ; puis, faisant glisser le chariot le long de la colonne, j’ai visé successivement les deux bords supérieurs intérieurs aux extrémités d’un même diamètre. Six mesures effectuées sur des diamètres différents m’ont donné comme valeur moyenne du rayon

$\mathrm {R} _{1}=14^{\textrm {cm}},6395,$

et comme valeurs extrêmes du diamètre

29^cm,285     et     29^cm,271.

Pour mesurer le diamètre du cylindre suspendu, je l’ai placé sur des cales, de façon que son axe fût horizontal, et je me suis servi du même cathétomètre remis dans sa position ordinaire. Huit mesures m’ont donné comme valeur moyenne du rayon

$\mathrm {R} _{0}=14^{\textrm {cm}},3930,$

et comme valeurs extrêmes du diamètre

28^cm,797     et     28^cm,782.

Par conséquent, si les deux cylindres avaient été parfaitement circulaires et concentriques, l’épaisseur de la couche liquide eût été égale à

$\mathrm {R} _{1}-\mathrm {R} _{0}=0^{\mathrm {cm} },2465.$

Enfin, j’ai obtenu pour la hauteur du cylindre suspendu

h=7^cm,9053

comme moyenne de trois mesures, et pour le diamètre utile de la poulie d’ébonite

7^cm,6825

comme moyenne de deux mesures.

J’ai ensuite assemblé les anneaux de garde, le cylindre suspendu, l’anneau couvercle et le trépied de fonte, et j’ai mis le tout en place. Pour centrer les deux cylindres l’un dans l’autre, j’ai employé les moyens suivants :

L’anneau de garde inférieur était muni d’une pièce centrale, terminée, en dessous, par une pointe c, et creusée, en dessus, du trou qui devait recevoir le pivot du cylindre suspendu. Les vis calantes du trépied étaient d’abord assez relevées pour que le système reposât par cette pointe sur le fond du trou central O du vase tournant ; puis on les abaissait, de manière à placer horizontalement le disque de l’anneau de garde supérieur en soulevant à peine le système. Les anneaux de garde et le logement du pivot devaient ainsi se trouver centrés.

On fixait alors le fil d’acier dans ses pinces, après y avoir enfilé le petit tube de verre n ; et, laissant ce fil un peu lâche, on introduisait la tige d’acier h dans le trou central du cylindre suspendu, en enfonçant le pivot jusqu’au fond de son logement ; on serrait la vis de pression v’ ; puis, avec la vis de rappel du cercle supérieur, on tendait le fil et l’on soulevait le cylindre suspendu, de manière à lui donner une mobilité parfaite. On fixait enfin avec de la cire fondue le petit tube de verre n dans la position que le fil lui avait imposée.

Ces dispositions ne m’ont pas donné un bon centrage : c’est ce que prouve la valeur trop forte obtenue pour le coefficient de frottement (12).

Mais je crois qu’on pourrait réaliser un centrage excellent en s’appuyant sur la remarque faite plus haut (6) qu’au centrage parfait correspond un frottement minimum. J’ai eu soin de constater expérimentalement l’existence d’un tel minimum. Mais, comme l’application pratique de ce procède de réglage exigeait des modifications assez importantes dans l’appareil, et que d’ailleurs le défaut de centrage ne pouvait influer que sur les valeurs des constantes, et non sur l’allure générale des phénomènes mis en lumière par mes expériences, je n’ai pas cru nécessaire d’en entreprendre de nouvelles.

9. La mobilité du cylindre suspendu était assez grande pour qu’il ne prît une position d’équilibre qu’après un assez grand nombre d’oscillations et comme chaque oscillation simple durait environ vingt secondes, on n’attendait pas que l’aiguille fût arrivée au repos. On notait trois élongations successives $\alpha ,\beta ,\gamma$ sur le cadran inférieur, et l’on admettait comme position d’équilibre ${\tfrac {\alpha +2\beta +\gamma }{4}}.$

Comme il eût été trop long d’amener cette position à coïncider avec le zéro du cadran inférieur, on comparait par des expériences préliminaires les écarts observés sur ce cadran avec les torsions (mesurées sur le cercle supérieur) qu’il fallait donner au fil, ou avec les poids qu’il fallait mettre dans les plateaux pour produire ces écarts. On a trouvé ainsi qu’une rotation de 50° de l’alidade déplaçait la position d’équilibre de l’aiguille de 38^div,5 du cadran inférieur. Donc, dans les expériences faites sur le fil seul, il faut multiplier par ${\tfrac {50}{38,5}}=1,3$ les écarts observés sur le cadran inférieur pour obtenir la correction additive ou soustractive qu’on doit faire subir à l’angle de torsion lu sur le cercle divisé.

On a trouvé aussi qu’un poids de 0^gr,6 déplaçait l’aiguille de 30 divisions ; on en a conclu que pour traduire en grammes les écarts observés sur le cadran inférieur, il fallait multiplier les lectures par 0,02.

Enfin, pour pouvoir comparer les expériences faites avec le fil seul avec celles où l’on a employé des poids, on a mesuré la torsion équilibrée par un poids de 1^gr. On a trouvé dans trois expériences les résultats suivants :

Torsion T.	Poids P.	Rapport ${\tfrac {\mathrm {P} }{\mathrm {T} }}$	Température.
259°,2	4gr	0,01543	16°,1
647,1	10	0,01545	16,3
1451,2	22	0,01516	16,3

Dans cette dernière expérience, la limite d’élasticité paraît avoir été dépassée, ce qu’indique non seulement la valeur plus faible du rapport ${\tfrac {\mathrm {P} }{\mathrm {N} }},$ mais encore un déplacement permanent de 3°,7 observé pour la position d’équilibre. Il est donc bon de ne pas dépasser deux ou trois circonférences de torsion, si l’on veut pouvoir compter sur la loi de Coulomb, que confirment d’ailleurs très bien les deux premières expériences. Nous adopterons pour la valeur du rapport ${\tfrac {\mathrm {P} }{\mathrm {T} }}$ la moyenne des nombres qu’elles donnent, soit

${\frac {\mathrm {P} }{\mathrm {T} }}=0,01544.$

10. Voici les nombres fournis par 36 expériences faites sur l’eau distillée. La température était donnée par un thermomètre plongé dans le cylindre intérieur. Les 15 premières ont été faites avec le fil de torsion, les 21 autres avec des poids. Le Tableau suivant renferme, pour chaque expérience, le numéro d’ordre ; le nombre de tours par minute du cylindre tournant N ; l’angle de torsion T ; le poids $P=T\times 0,01544$ équivalent à cette torsion, le rapport ${\tfrac {\mathrm {P} }{\mathrm {N} }}$ et la température de l’eau t (novembre 1888).

Nos	N.	T.	P	${\tfrac {\mathrm {P} }{\mathrm {N} }}$	t
1	11,91	162°,3	2gr,506	0,2104	16°,7
2	12,04	166,9	2,577	0,2140	16,7
3	19,14	263,0	4,061	0,2121	16,7
4	19,64	273,4	4,221	0,2149	16,7
5	29,48	405,5	6,261	0,2123	16,7
6	28,84	401,8	6,204	0,2151	16,7
7	36,19	552,5	8,840	0,2443	12,8
8	35,84	544,0	8,399	0,2344	13,0
9	51,88	787,4	12,16	0,2344	13,1
10	52,38	792,2	12,23	0,2335	13,3
11	54,85	805,2	12,43	0,2266	14,7
12	59,53	1207,3	18,64	0,3132	14,7
13	58,80	1125,9	17,38	0,2956	14,7
14	61,75	1427,9	22,05	0,3570	14,9
15	60,66	1382,4	21,34	0,3519	15,0
15
16	10,27	· · · · ·	2,26	0,2201	16,5
17	8,71	· · · · ·	1,84	0,2113	16,5
18	22,86	· · · · ·	4,93	0,2157	16,6
19	23,08	· · · · ·	4,99	0,2133	16,7
20	94,75	· · · · ·	57,16	0,6033	16,9
21	94,63	· · · · ·	56,94	0,6018	17,1
22	127,05	· · · · ·	100,36	0,7899	16,8
23	127,27	· · · · ·	100,80	0,7920	16,9
24	44,02	· · · · ·	9,68	0,2199	16,0
25	50,76	· · · · ·	11,14	0,2194	16,1
26	54,07	· · · · ·	11,90	0,2201	16,2
27	55,69	· · · · ·	12,06	0,2166	16,3
28	59,26	· · · · ·	20,23	0,3413	16,7
29	59,16	· · · · ·	20,25	0,3423	16,8
30	72,73	· · · · ·	34,25	0,4709	16,8
31	71,56	· · · · ·	33,67	0,4704	16,9
32	359,75	· · · · ·	620,0	1,723	17,4
33	358,4	· · · · ·	619,7	1,729	17,6
34	431,8	· · · · ·	854,9	1,980	16,6
35	435,9	· · · · ·	866,6	1,988	16,9
36	453,3	· · · · ·	956,3	2,110	16,9

11. Nous avons tiré (4) des équations de Navier la formule

$\mathrm {M} ={\frac {4\pi \Omega \mathrm {R} _{1}^{2}\mathrm {R} _{0}^{2}h\varepsilon }{\mathrm {R} _{1}^{2}-\mathrm {R} _{0}^{2}}}.$

On a

$\Omega ={\frac {2\mathrm {N} \pi }{60}},$

et, en appelant $r$ le rayon de la poulie d’ébonite où s'enroulent les fils porteurs des poids,

$\mathrm {M} =\mathrm {P} gr\qquad (g=980^{\textrm {cm}},88\ {\textrm {par}}\ {\textrm {seconde}}).$

On déduit de là

(13)

${\frac {\mathrm {P} }{\mathrm {N} }}={\frac {2\pi ^{2}\mathrm {R} _{1}^{2}\mathrm {R} _{0}^{2}h\varepsilon }{15\left(\mathrm {R} _{1}^{2}-\mathrm {R} _{0}^{2}\right)gr}}={\textrm {const.}}$

Or les Tableaux ci-dessus montrent que ce rapport ${\tfrac {\mathrm {P} }{\mathrm {N} }}$ a conservé une valeur à peu près constante et comprise entre 0,21 et 0,25 dans les 19 expériences où $\mathrm {N}$ est resté inférieur à 56. Dans les 17 autres, le même rapport croît rapidement avec la vitesse ; pour $\mathrm {N} =58,8,$ on a déjà ${\tfrac {\mathrm {P} }{\mathrm {N} }}=0,29,$ et l’on arrive à ${\tfrac {\mathrm {P} }{\mathrm {N} }}=2,11,$ quand $\mathrm {N} =453.$

On voudra bien remarquer que les deux groupes sont enchevêtrés dans les Tableaux ci-dessus, où j’ai conservé l’ordre dans lequel les expériences se sont succédé ; on ne peut donc pas attribuer la discontinuité des résultats à un dérangement survenu dans l’appareil.

Nous allons montrer que les écarts entre les valeurs du rapport ${\tfrac {\mathrm {P} }{\mathrm {N} }}$ dans les 19 expériences du premier groupe sont dus, pour leur plus grande partie, aux variations de la température qui modifient : 1^o le coefficient de frottement intérieur de l’eau ; 2^o les dimensions de l’appareil ; 3^o le coefficient de torsion du fil. Nous ne tiendrons pas compte de ce dernier effet, qui, d’ailleurs, n’intervient pas quand on se sert des poids. Mais nous calculerons les deux premiers en admettant provisoirement la légitimité de la formule (13), et nous ramènerons ainsi toutes les expériences à la température θ=16°,7, qui s’est présentée le plus souvent.

D’après les expériences de Poiseuille, on a

$\varepsilon _{t}={\frac {\varepsilon _{0}}{1+at+bt^{2}}},$

avec

${\begin{aligned}a&=0,0336793,\\b&=0,0002209936.\end{aligned}}$

D’autre part, l’expression (13) de ${\tfrac {\mathrm {P} }{\mathrm {N} }}$ renferme le facteur

${\frac {\mathrm {R} _{1}^{2}\mathrm {R} _{0}^{2}h}{\mathrm {R} _{1}^{2}-\mathrm {M} _{0}^{2}}},$

qui est du troisième degré et ne contient que des dimensions d’objets en laiton ; ${\tfrac {\mathrm {P} }{\mathrm {N} }}$ est donc proportionnel au cube du binôme de dilatation du laiton. En prenant

$\lambda =0,0000188$

et remarquant que les écarts de température à corriger sont inférieurs à 4°, on reconnaît que la correction de dilatation n’atteindrait pas 0,00022 en valeur relative ; elle est donc inutile, eu égard au degré de précision des expériences. À fortiori doit-on négliger la dilatation de la poulie d’ébonite. Tout se réduit donc à la correction du frottement intérieur et l’on a

(14)

$\left({\frac {\mathrm {P} }{\mathrm {N} }}\right)_{0}=\left({\frac {\mathrm {P} }{\mathrm {N} }}\right)_{t}{\frac {1+at+bt^{2}}{1+a0+b0^{2}}}.$

Dans le Tableau suivant, j’ai inscrit par ordre de vitesse croissante les expériences du premier groupe ; j’y ai joint les quatre premières du deuxième groupe, pour montrer

que la correction de température n’atténue pas la discontinuité.

Premier groupe.

Nos	N.	t.	$\left({\tfrac {\mathrm {P} }{\mathrm {N} }}\right)_{t}.$	$\left({\tfrac {\mathrm {P} }{\mathrm {N} }}\right)_{\theta }.$
17	8,71	16,5	0,2113	0,2102
16	10,27	16,5	0,2201	0,2190
1	11,91	16,7	0,2104	0,2104
2	12,04	16,7	0,2140	0,2140
3	19,14	16,7	0,2121	0,2121
4	19,64	16,7	0,2149	0,2149
18	22,86	16,6	0,2157	0,2151
19	23,08	16,7	0,2133	0,2133
6	28,84	16,7	0,2151	0,2151
5	29,48	16,7	0,2123	0,2123
8	35,84	13,0	0,2344	0,2129
7	36,19	12,8	0,2443	0,2206
24	44,02	16,0	0,2199	0,2160
25	50,76	16,1	0,2194	0,2160
9	51,88	13,1	0,2344	0,2134
10	52,38	13,3	0,2335	0,2138
26	54,07	16,2	0,2201	0,2173
11	54,85	14,7	0,2266	0,2153
27	55,69	16,3	0,2166	0,2144

Deuxième groupe.

Nos	N.	t.	$\left({\tfrac {\mathrm {P} }{\mathrm {N} }}\right)_{t}.$	$\left({\tfrac {\mathrm {P} }{\mathrm {N} }}\right)_{\theta }.$
13	58,80	14,7	0,2956	0,2809
29	59,16	16,8	0,3423	0,3431
28	59,26	16,7	0,3413	0,3413
12	59,53	14,7	0,3132	0,2975

Je n’ai pas poussé plus loin les corrections de température pour le deuxième groupe, rien ne m’autorisant à lui appliquer la formule (14).

Les conclusions à tirer du Tableau ci-dessus sont évidentes :

1^o Le rapport ${\tfrac {\mathrm {P} }{\mathrm {N} }}$ est constant dans toutes les expériences du premier groupe ; sa valeur moyenne est

0,21506

et les écarts entre les valeurs particulières et cette valeur moyenne, tous inférieurs à 0,026 en valeur relative, présentent les caractères d’erreurs accidentelles.

2^o Entre 55^tours,0 et 58^tours,8 par minute, le rapport ${\tfrac {\mathrm {P} }{\mathrm {N} }}$ augmente dans la proportion de 0,21 à 0,28, c’est-à-dire de 3 à 4.

12. Les expériences du premier groupe semblent donc jusqu’ici conformes aux équations de Navier. Pour compléter la vérification, j’ai calculé le coefficient de frottement intérieurs de l’eau à 16°,7, en remplaçant, dans la formule (13), ${\tfrac {\mathrm {P} }{\mathrm {N} }}$ par la valeur moyenne que nous venons de trouver. J’ai obtenu ainsi la valeur

$\varepsilon =0,01255,$

au lieu que les expériences de Poiseuille, qui méritent toute confiance, donnent, pour la même température,

$\varepsilon =0,01096,$

La valeur que j’ai trouvée est donc trop forte d’environ 15 pour 100. Ce résultat me parait dû aux imperfections de l’appareil, c’est-à-dire :

1^o À l’insuffisance des anneaux de garde pour empêcher le frottement de l’eau sur la tranche et sur l’intérieur du cylindre suspendu. Pour expliquer l’erreur par cette seule cause, il faudrait admettre que ce frottement est égal à celui qui s’exerce sur une zone de la surface externe de ce cylindre d’une hauteur égale à 1^cm,15 ;

2^o À un défaut de centrage. Pour expliquer l’erreur par cette deuxième cause seule, il faudrait admettre que les axes des deux cylindres supposés parallèles étaient distants de 0^cm,13 (6).

Ce qui démontre que c’est bien à l’appareil, et probablement surtout au défaut de centrage, qu’il faut attribuer l’erreur, c’est qu’elle a pris des valeurs notablement différentes dans trois séries d’expériences avant chacune desquelles l’appareil avait été monté à nouveau. C’est ce qu’on voit dans le Tableau suivant, où $\varepsilon$ représente le coefficient trouvé, et $\varepsilon _{p}$ celui qu’on déduit des expériences de Poiseuille.

Dates.	t.	$\varepsilon .$	$\varepsilon _{p}.$	${\tfrac {\varepsilon }{\varepsilon _{p}}}.$
Juillet 1888	19,1	0,01134	0,01008	1,125
Novembre 1888	16,7	0,01255	0,01096	1,145
Janvier 1889	12,0	0,01523	0,01239	1,229

Dans les deux premières séries, l’appareil avait été centré avec soin, et, dans la troisième, décentré à dessein.

13. Examinons maintenant le groupe des 17 expériences dans lesquelles le rapport ${\tfrac {\mathrm {P} }{\mathrm {N} }}$ s’est montré variable. J’en reproduis ici les résultats rangés par ordre de vitesse croissante et j’y joins, en les distinguant par des lettres au lieu de numéros, ceux de 8 expériences faites quelques jours avant les autres et qui méritent un peu moins de confiance. Je ne fais pas de correction pour la température^[14].

Nos .	t.	$\mathrm {N} .$	${\tfrac {\mathrm {P} }{\mathrm {N} }}.$	Calculé.
R	17,7	56,08	0,3067	»
13	14,7	58,80	0,2957	»
29	16,8	59,16	0,3424	»
28	16,7	59,26	0,3413	»
12	14,7	59,53	0,3132	»
15	15,0	60,66	0,3519	»
14	14,9	61,75	0,3570	»

Nos	t.	$\mathrm {N} .$	${\tfrac {\mathrm {P} }{\mathrm {N} }}.$	Calculé.
31	16,9	71,56	0,4704	”
30	16,8	72,73	0,4709	”
P	17,5	93,38	0,5901	”
21	17,1	94,63	0,6018	”
20	16,9	94,75	0,6033	”
N	17,3	107,9	0,6883	”
22	16,8	127,05	0,7899	0,8194
23	16,9	127,27	0,7920	0,8202
G	15,9	160,14	0,9435	0,9498
F	15,8	160,64	0,9518	0,9498
H	16,1	249,7	1,327	1,296
I	16,2	249,0	1,325	1,296
K	16,9	312,6	1,559	1,540
33	17,6	358,4	1,729	1,686
32	17,4	359,75	1,723	1,691
34	16,6	431,8	1,980	2,003
35	16,9	435,9	1,988	2,019
36	16,9	453,3	2,110	2,086

14. La ligne i (fig. 7) représente l’ensemble de toutes ces expériences ; la ligne ii reproduit à une échelle quintuple la région où se manifeste la discontinuité.

Les dix-neuf expériences du premier groupe se serrent étroitement autour de la droite horizontale :

${\frac {\mathrm {P} }{\mathrm {N} }}=0,2151\ ;$

aussi n’ai-je figuré que les deux (17 et 7) qui s’en écartent le plus, et la dernière (27) qui, conjointement avec la première (R) du second groupe, marque d’une manière très précise l’abscisse de la discontinuité. Pour mettre celle-ci hors de doute, j’ai, on le voit, multiplié les expériences. Elles sont difficiles dans cette région. L’aiguille, au lieu d’osciller tranquillement autour d’une position d’équilibre, comme elle le fait pour les vitesses inférieures à 56 tours par minute, éprouve, sans cause apparente,

des déplacements brusques qui la font sortir de l’arc

Fig. 7.

	i	ii	iii	iv
Abscisses	0,2$\mathrm {N}$	$\mathrm {N}$	30q	8q
Ordonnées	40${\tfrac {\mathrm {P} }{\mathrm {N} }}$	200${\tfrac {\mathrm {P} }{\mathrm {N} }}$	3000$\varepsilon _{10}$	2000$\left.\varepsilon \right\}$mm

divisé, et, pour la ramener aux environs du zéro, il faut

souvent modifier de 2^gr ou 3^gr la charge des plateaux, qui est alors seulement d’une quinzaine de grammes.

En recommençant bien des fois, on réussit enfin à voir l’aiguille à peu près fixe pendant la minute nécessaire à l’inscription des tours. Les points ainsi obtenus sont disposés assez irrégulièrement. En même temps on observe dans l’eau qui remplit l’appareil des espèces de palpitations, bien remarquables surtout quand la vitesse est d’environ 100 tours. Le niveau de l’eau dans le cylindre intérieur fait alors, par seconde, à peu près deux oscillations complètes de 2^mm ou 3^mm de hauteur.

Toutes ces perturbations disparaissent quand on augmente encore la vitesse. On ne les observe plus à partir de 127 tours.

Au delà de cette limite, les expériences sont aussi faciles que celles du premier groupe, et les points figuratifs se resserrent autour d’une droite inclinée dont l’équation formée par la méthode d’interpolation de Cauchy, à l’aide des douze expériences de cette région, est

${\frac {\mathrm {P} }{\mathrm {N} }}=0,3260+0,0038832\mathrm {N} .$

Cette formule doit être considérée comme relative à la température de 16°,7, moyenne de celles des expériences. Les nombres qu’elle donne sont inscrits dans la dernière colonne du Tableau ci-dessus.

15. En résumé : 1^o entre 0 et 56 tours par minute, le frottement sur le cylindre intérieur est proportionnel à la vitesse angulaire du cylindre extérieur, conformément à l’équation (10), qui est pour le cas actuel l’intégrale la plus simple des équations de Navier ;

2^o Entre 56 et 127 tours, il augmente très rapidement, et il y a des perturbations ;

3^o De 127 à 453 tours, limite des expériences, il croît régulièrement suivant une fonction du second degré de la vitesse.

16. Puisqu’on a observé la double rétraction dans les huiles animées d’un mouvement très rapide, il m’a paru probable que ces liquides devaient suivre les lois simples exprimées par la formule (10) jusqu’à une limite de vitesse bien plus reculée que pour l’eau. Pour le vérifier, j’ai opéré, en décembre 1888, sur de l’huile de colza dont la viscosité était environ 108 fois plus grande que celle de l’eau. J’ai dû alors remplacer la poulie d’ébonite par un levier en bois de 90^cm de long, relié solidement au cylindre suspendu par des tirants en laiton. Mais je n’ai pas dépassé 125 tours par minute, arrêté par l’insuffisance de mon moteur et par les projections de l’huile qui contournait l’anneau couvercle. Jusqu’à cette limite, j’ai trouvé une proportionnalité exacte entre le frottement et la vitesse, ce que montre le Tableau suivant (décembre 1888) :

Nos	$\mathrm {N} .$	$\mathrm {P} .$	${\tfrac {\mathrm {N} }{\mathrm {P} }}.$	t.	$\left({\tfrac {\mathrm {N} }{\mathrm {P} }}\right)_{15}.$
1	16,90	38,31	2,267	11°,8	2,009
2	26,94	52,00	1,997	15,2	2,013
3	49,97	98,86	1,976	15,3	2,003
4	84,49	160,86	1,904	16,2	2,001
5	100,77	188,58	1,871	16,8	2,016
6	122,00	217,62	1,784	17,8	2,009
7	124,05	226,58	1,826	17,3	2,011

Les nombres de la dernière colonne ont été obtenus en corrigeant l’influence de la température par la formule linéaire

$\left({\tfrac {\mathrm {P} }{\mathrm {N} }}\right)_{15}={\tfrac {\mathrm {P} }{\mathrm {N} }}+0,805\left(t-15\right),$

dont le coefficient a été déterminé en combinant les expériences 1 et 6.

17. La loi du frottement de l’air, étudiée en juillet 1888 dans le même appareil et avec l’emploi exclusif du fil de torsion, présente, comme celle de l’eau, une discontinuité ; mais celle-ci ne se manifeste que vers 750 tours.

Nos	$\mathrm {N} .$	$\mathrm {T} .$	t.	${\tfrac {\mathrm {T} }{\mathrm {N} }}.$	$\left({\tfrac {\mathrm {T} }{\mathrm {N} }}\right)_{20}.$
1	27,0	7°,65	18,7	0,2832	0,2890
2	64,3	18,69	18,0	0,2855	0,2942
3	106,8	30,75	18,1	0,2830	0,2913
4	151,0	43,59	18,3	0,2838	0,2912
6	283,3	83,53	20,5	0,2948	0,2926
7	330,5	99,04	20,3	0,2997
8	510,3	156,5	20,0	0,3067
9	758,4	240,7	19,9	0,3174
10	797,2	264	20,2	0,3312
11	941	424	20,0	0,4511
12	1057	609	19,7	0,5762
13	1178	799	19,4	0,6787
14	1317	992	19,3	0,7532

Au-dessous de 300 tours, le rapport ${\tfrac {\mathrm {T} }{\mathrm {N} }},$ corrigé de l’influence de la température par la formule empirique

$\left({\tfrac {\mathrm {T} }{\mathrm {N} }}\right)_{20}={\tfrac {\mathrm {T} }{\mathrm {N} }}-0,00437\left(t-20\right),$

reste constant, à 0,01 près de sa valeur moyenne, 0,2915.

Entre 300 et 800 tours, il augmente lentement d’environ 0,1 de sa valeur ; mais à partir de 800 tours, son augmentation devient très rapide et la disposition des points représentatifs des expériences suivantes reproduit celle de la région troublée pour l’eau. Je n’ai pas réalisé d’assez grandes vitesses pour retrouver la seconde région régulière, qui, d’après le graphique, paraît devoir commencer peu au delà de 1300 tours.

18. Mes expériences sur l’air m’ont permis de déterminer le coefficient de frottement intérieur de ce gaz^[15] sur lequel on ne possédait encore que des données assez discordantes. Voici, en effet, les nombres donnés par divers physiciens :

Dates.	Auteurs.	Méthodes.	t.	$\varepsilon$.
1866.	J.-C. Maxwell[16]	Disque oscillant.	18°	0,000200
1871.	O.-E. Meyer[17]	Id.	18	200
1873.	O.-E. Meyer et Springmühl[18]	Écoulement.	18	190
1875.	Kundt et Warburg[19]	Disque oscillant.	15	189
1879.	L.Meyer et Schumann[20]	Écoulement.	20	198
1884.	O. Schumann[21]	Disque oscillant.	20	178

Pour éviter les erreurs provenant de l’appareil, après avoir terminé mes expériences sur l’air, j’ai rempli le cylindre d’eau distillée, sans rien modifier au montage, et deux expériences m’ont donné :

$\mathrm {N} .$	$\mathrm {T} .$	${\tfrac {\mathrm {T} }{\mathrm {N} }}.$	t.	Valeur moyenne
25,5	428,4	16,80	19,1	${\tfrac {\mathrm {T} }{\mathrm {N} }}=16,77$
25,5	427,4	16,74	19,1

À 19°,1, le coefficient de viscosité de l’eau est 0,01032, d’après les expériences de Poiseuille. D’autre part, les cinq premières expériences sur l’air donnent comme valeur moyenne

${\frac {\mathrm {T} }{\mathrm {N} }}=0,2915$ à 20°.

Le coefficient de frottement intérieur de l’air à cette température est donc

$\varepsilon =0,01032\times {\frac {0,2915}{16,77}}=0,0001794,$

résultat très voisin de celui de M. 0. Schumann.

Je crois pouvoir répondre des trois premiers chiffres significatifs ; mais j’ai opéré sur l’air non purifié, sans m’appliquer à réaliser toute la perfection dont est susceptible cette méthode nouvelle pour la mesure du frottement intérieur dans les gaz.

Nous ne tirerons pas immédiatement de conclusion générale des faits observés avec l’appareil à cylindre. Car nous allons les retrouver, avec un parallélisme parfait, dans les phénomènes d’écoulement, qui nous seront plus commodes pour approfondir et généraliser leur étude, mais dont, en fait, je n’ai bien compris la signification qu’après avoir été éclairé par les expériences rapportées dans ce premier Chapitre.

CHAPITRE ii.

EXPÉRIENCES AVEC LES TUBES.

19. Soit un tube cylindrique à base circulaire, de rayon $\mathrm {R}$ et de longueur indéfinie, traversé par un courant permanent de liquide. Eu supposant : 1^o que les vitesses sont parallèles à l’axe du tube ; 2^o qu’elles sont nulles au contact de la paroi, ou obtient, par l’intégration des équations de Navier, la formule^[22]

(1)

$q={\frac {\pi \mathrm {R} ^{4}\mathrm {C} }{8l\varepsilon }},$

dans laquelle q est le débit, c’est-à-dire le volume du liquide qui traverse pendant l’unité de temps chaque section droite du tube ; $\mathrm {C}$ est la différence de charge exprimée en unités de poids par unité de surface, entre deux sections droites dont la distance est $l\ ;$ $\varepsilon$ est le coefficient de viscosité.

L’application de cette formule à un tube de longueur finie exige quelque précaution. Il serait généralement incorrect de mettre à la place de $\mathrm {C}$ la différence de charge $\mathrm {C} _{1}$ qu’on mesure entre les deux réservoirs réunis par le tube, et à la place de $l$ la longueur totale $l_{1}$ de celui-ci. En effet, 1^o le parallélisme des vitesses n’est probablement pas réalisé au voisinage immédiat des extrémités ; 2^o l’acquisition de la force vive et les frottements subis par le liquide, avant son entrée dans le tube, produisent une perte de charge, que nous étudierons en détail dans le Chapitre iii. Mais on peut penser qu’entre deux sections suffisamment éloignées des extrémités, le mouvement est le même que dans un tube indéfini : Soient $l_{1}-\lambda$ la distance de ces deux sections, $\mathrm {C} _{1}-\gamma$ la différence de charge entre elles ; nous écrirons la formule (1) sous la forme

$q={\frac {\pi \mathrm {R} ^{4}}{8\varepsilon }}{\frac {\mathrm {C} _{1}-\gamma }{l_{1}-\lambda }}$

Quand l’écoulement est très lent et la longueur du tube très grande par rapport à son rayon, $\gamma$ peut être négligé devant $\mathrm {C} _{1}$ et $\lambda$ devant $l_{1}\ ;$ c’est ce qui s’est présenté dans la première série des expériences de Poiseuille. Mais comme je voulais opérer dans des conditions plus variées, j’ai pris le parti d’éliminer $\gamma$ et $\lambda$ par une disposition expérimentale, qui m’a été suggérée par les expériences de Wertheim sur les tuyaux sonores.

20. Prenons deux tubes de même rayon et de longueurs différentes $l_{1}$ et $l_{2},$ embouchés de la même manière. Faisons-y couler le même liquide en donnant aux différences de charge $\mathrm {C} _{1}$ et $\mathrm {C} _{2}$ des valeurs telles que le débit q des deux tubes soit le même. Retranchons par la pensée, des deux tubes, des longueurs $\lambda$ égales entre elles et suffisantes pour que dans les régions moyennes restantes le mouvement soit le même que dans un tube indéfini. Les corrections $\gamma$ qu’il faudra retrancher de $\mathrm {C} _{1}$ et de $\mathrm {C} _{2}$ pour obtenir les différences de charge entre les sections qui limitent les régions moyennes seront égales entre elles ; car elles ne peuvent évidemment dépendre que de $\mathrm {R} ,$ $\varepsilon ,$ $\rho ,$ $q$ et $\lambda$ ($\rho$ = densité du liquide), toutes choses qui sont ici égales pour les deux tubes. Nous aurons donc à la fois

$q={\frac {\pi \mathrm {R} ^{4}}{8\varepsilon }}{\frac {\mathrm {C} _{1}-\gamma }{l_{1}-\lambda }}={\frac {\pi \mathrm {R} ^{4}}{8\varepsilon }}{\frac {\mathrm {C} _{2}-\gamma }{l_{2}-\lambda }},$

d’où nous tirons

(2)

$q={\frac {\pi \mathrm {R} ^{4}}{8\varepsilon }}{\frac {\mathrm {C} _{1}-\mathrm {C} _{2}}{l_{1}-l_{2}}},$

formule qui ne contient plus les quantités inconnues $\gamma$ et $\lambda .$

21. Pour donner exactement le même débit aux deux

Fig. 8

tubes T₁ et T₂, je les ai disposés à la suite l’un de l’autre entre trois larges réservoirs M, N, P (fig. 8). L’eau partait d’un très grand vase de Mariotte (en cuivre) a, traversait les réservoirs et les tubes, et sortait par l’orifice B. Le tube du vase de Mariotte communiquait avec un réservoir d’air comprimé C. Deux moyens permettaient de faire varier le débit : modification de la pression dans le réservoir C et manœuvre du robinet à vis R placé entre le vase de Mariotte et le réservoir M.

Pour mesurer le débit, on recueillait en R le liquide dans un vase D, dont on avait fait la tare et qu’on pesait ensuite. Le vase était présenté à l’orifice au commencement d’une minute (par exemple) et retiré à la fin par le procédé décrit (7) pour la manœuvre du commutateur.

Un thermomètre placé dans le réservoir M donne la température de l’eau. Ayant besoin de très grandes quantités de liquide, et me proposant de vérifier une loi et non de déterminer un coefficient, j’ai employé de l’eau ordinaire des conduites. On sait d’ailleurs que sa viscosité ne présente pas de différence sensible avec celle de l’eau distillée.

22. Les différences de charge entre les réservoirs M, N et P se mesuraient sur un manomètre H formé de trois tubes de verre communiquant entre eux inférieurement et réunis par des tubes de plomb t, respectivement aux trois réservoirs. La partie inférieure des tubes manométriques contenait du mercure ; leur partie supérieure et les tubes de plomb étaient remplis d’eau. Trois robinets à trois voies r, mastiqués sur les tubes manométriques permettaient : 1^o d’établir la communication entre les réservoirs et les manomètres à mercure ; 2^o de faire communiquer les réservoirs avec trois tubes de verre verticaux ouverts E, qui formaient un manomètre à eau pour la mesure des faibles différences de charge ; 3^o d’expulser les bulles d’air logées dans les tubes du manomètre à mercure ou dans les tubes de plomb ; 4^o de couper toute communication afin d’immobiliser les colonnes et de donner à l’observateur tout loisir pour faire les visées au cathétomètre

Soient

h, h’, h’’

les lectures faites sur cet instrument en visant successivement les sommets des colonnes correspondant aux réservoirs

M, N, P ;

$\mu$ la densité du mercure, $\rho$ celle de l’eau à la température actuelle, $g$ l’accélération de la pesanteur, on voit facilement qu’on a : 1^o dans le cas manomètre à eau :

Différence de charge entre M et N

$\mathrm {C} _{1}=\left(h-h'\right)\rho g\ ;$

différence de charge entre N et P

$\mathrm {C} _{2}=\left(h'-h''\right)\rho g\ ;$

donc

$\mathrm {C} _{1}-\mathrm {C} _{2}=\left(h+h''-2h'\right)\rho g.$

2^o Pour le manomètre à deux liquides :

${\begin{aligned}\mathrm {C} _{1}&=\left(h'-h\right)\left(\mu -\rho \right)g,\\\mathrm {C} _{2}&=\left(h''-h'\right)\left(\mu -\rho \right)g,\end{aligned}}$

et

$\mathrm {C} _{1}-\mathrm {C} _{2}=\left[2h'-\left(h+h''\right)\right]\left(\mu -\rho \right)g.$

On attendait, pour mesurer le débit, que les niveaux manométriques fussent à peu près immobiles, et pour atténuer autant que possible l’effet de leurs dernières variations, on fermait les robinets au milieu de l’intervalle de temps pendant lequel on recueillait le liquide.

La rentrée des bulles d’air dans le vase de Mariotte produit des palpitations qui deviennent une cause d’erreur d’une assez grande importance quand les différences de charge sont très faibles. On peut alors fermer le robinet R’ par lequel l’air entre dans le vase de Mariotte. Les différences de charge diminuent ainsi d’une manière lente et continue pendant l’expérience, et la précaution de fermer le manomètre au milieu de celle-ci fait connaître leurs valeurs moyennes.

23. Il n’est pas facile de trouver deux tubes de verre de même rayon. Voici généralement comment j’ai fait. En déplaçant une colonne de mercure dans un tube de verre, on découvre assez souvent une région dans laquelle la section présente un minimum ou un maximum et, par suite, des variations plus lentes que dans le reste du tube. C’est dans cette région que je détachais les deux fragments destinés à mes expériences, en ayant soin que l’un fût à peu près trois fois plus long que l’autre, et que leurs sections moyennes (appréciées par la longueur de la goutte de mercure) fussent aussi égales que possible.

La mesure du rayon était faite par un jaugeage au mercure, ordinairement avant la séparation des deux fragments. Par exemple, j’ai trouvé pour le tube qui a servi à la série d’expériences que je vais rapporter ci-après :

Poids du mercure	2gr,2477
Longueur du mercure	21cm,114
Température	15°,1

J’en ai déduit

$\log \mathrm {R} ^{2}={\bar {3}},39765,\qquad \mathrm {R} =0^{\textrm {cm}},04998.$

Les longueurs des deux morceaux, mesurées au cathétomètre, étaient

$l_{1}=15^{\textrm {cm}},848,\qquad l_{2}=5^{\textrm {cm}},272.$

24. Dans la première expérience du Tableau suivant, j’ai employé le manomètre à eau, et dans toutes les autres le manomètre à deux liquides.

Voici les données immédiates des expériences dans l’ordre même où elles ont été faites (février 1889) :

Nos	h.	h’.	h’’.	Tare.	2e pesée.	T.	t.	θ
1	46cm,124	29cm,612	23cm,654	100gr855	84gr,170	90s	10°,7
2

T est le temps pendant lequel on a recueilli le liquide ; t, la température de l’eau, $\theta$ celle de l’air auprès du manomètre.

De ces données, j’ai déduit les nombres consignés dans le Tableau suivant, où les expériences sont rangées par ordre de débits croissants.

$\varepsilon$ représente le coefficient de frottement intérieur calculé au moyen de la formule (2) ; et $\varepsilon _{10},$ la valeur qu’aurait ce coefficient à la température de 10° d’après la formule de Poiseuille (11).

Or on voit que les valeurs de $\varepsilon _{10}$ dans les cinq premières expériences, où le débit a varié dans la proportion de 1 à 7,2, sont très approximativement égales entre elles, et leur valeur moyenne 0,01309 est exactement égale à celle qu’on tire des expériences de Poiseuille^[23].

Dans les deux expériences suivantes, $\varepsilon _{10}$ augmente un peu, mais dans les deux dernières, il prend soudain des accroissements considérables, qui rappellent ceux que l’appareil à cylindres nous a donnés pour le rapport ${\tfrac {\mathrm {M} }{\mathrm {N} }},$ et qui indiquent que les lois de Poiseuille cessent d’être applicables. La discontinuité du phénomène se manifeste encore mieux dans la ligne iii (fig. 7).

25. Les expériences n’ont pas été poussées plus loin par suite de la rupture accidentelle d’un des tubes ; mais les suivantes, faites avec des tubes d’un diamètre à peu près double, vont fournir un ensemble plus complet de résultats.

Calibrage des tubes.

Température	17°,5
Poids du mercure	10gr4085
Longueur du mercure	29cm938

d’où

$\log \mathrm {R} ^{2}=3,91198,\qquad \mathrm {R} =0^{\textrm {cm}},09036$

Longueur des tubes

$l_{1}=22^{\textrm {cm}},616\qquad l_{2}=7,248$

Toutes les expériences ont été faites avec le manomètre à deux liquides ; en voici les données immédiates. $\mathrm {P}$ est le poids d’eau recueilli pendant le temps $\mathrm {T}$ (février 1889).

N". A. A’. A". T.’ P. <. 6. cm cm cm s gr 1. 62,278 73,24o 78,066 60 3t2,6o t3,7 ]6,5 2. 97,09 : 72,002 7/i,463 60 2~7,66 t3,n )6,5 3. 68,77~ 7’,6t2 73,104 60’ )38,4& ’3, ;) t6,5 4. 68,054 72,n4 74,322 60 )88,86 t3,2 16,5 S. 68,174 72,)i4 74,a’6 90 278,9.8 !3,4 i7 6. 67,076 72,250 75,n8 60 326,24 i3,5 t7 7. 6o,354 7’ !7~ 72,916 60 t22,20 «,2 f4,5 8. 6a,328 7’,77~ 7~)94o -6o !z3,52 t !,4 ’5 9. 6o,4to .73 ;982 79’88o’6o 348,5o )t,5 ’5 10. 52,492 7~~8< 88,344 6o 48 :,3o n,7 ’5 H. 44,5’6 78,648 94,706 55 533,5o n,4 t5 12. 35,34o 79,282 100,246 6o 665,3o n,’7 f5 Dans le Tableau suivant, les résultats sont rangés dans l’ordre des débits croissants.

?’. 

t. e. e, 7. tt,2 2,037 0,01297 o,oi269 8. ii,~ ,1 ’o5<)

3o2

)t8t 3. t3,9 2,307 )M5 ~89 5. i3,4 3,022 i~8 i2i)6 4. j3,2 3,).{8 t2~8 1289 2. )3,9 3,628 t~[88 1492 6. f3,5 3,77 ; 1283 1336 Calculé. i3 ;7 5,a !o 2~72 2~87 9. tt,o

8o8

2677 2<)6( 10. u’,7 8,022 3315 33o6 H. tt,4 9,655 3775 3781- 12. n,7 11,089 4~8 4199 La première expérience (~) mérite un peu moins de counanceque tes autres, car je trouve en note sur mon registre Gxi té douteuse du manomètre ; elle a donné un résultat un peu trop faible. Les quatre suivantes (8, 3, 5 et 4) donnent des valeurs très approximativement égales .pour quoique le débit ait varié dans la proportion de 2 à 3. La moyenne de ces quatre valeurs est o,0ta88 au lieu de 0, 01239, nombre qu’on déduit des expériences de Poiseuille. Cet écart tient a la forme un peu ovalaire des tubes. Les deux expériences suivantes (2 et 6) présentent des résultats discordants qui rappellent les irrégularités observées dans l’appareil à cylindres entre 56 et 127 tours. Mais dans les cinq dernières (1, 9, 10, 11 et 12) la marche du phénomène devient très régulière, et les points figuratifs se groupent très étroitement autour d’une droite, dont l’équation, formée par la méthode de Cauchy, est

$\varepsilon =0,00969+0,002913q$.

On voit que les nombres calculés au moyen de cette formule diffèrent au plus de ${\tfrac {1}{200}}$ et généralement beaucoup moins de ceux que donne l’expérience. Pour ces cinq expériences, dont la température moyenne est 12°, je n’ai pas fait de correction de température, faute de données suffisantes pour cela. D’ailleurs, l’influence de la température paraît peu considérable dans ces expériences auxquelles les lois de Poiseuille ne s’appliquent pas^[24].

Les résultats que je viens d’exposer sont représentés par la ligne iv (fig. 7). La comparaison de cette ligne avec la ligne i, qui représente les résultats donnés par l’appareil à cylindre, rend évident le parallélisme des phénomènes, et l’accord entre deux méthodes expérimentales aussi différentes ne permet pas d’attribuer aux défauts des appareils ou aux erreurs d’observation la discontinuité trouvée, dont l’ordre de grandeur rend, du reste, une pareille explication bien peu vraisemblable.

26. Nous pouvons donc poser maintenant les conclusions suivantes :

1^o Le mouvement des liquides peut se faire suivant deux régimes différents ;

2^o Le premier régime est exactement conforme aux intégrales les plus simples des équations de Navier ;

3^o Le second régime n’est pas conforme à ces intégrales, et, quand on lui applique les mêmes formules qu’au premier, on trouve pour le coefficient de frottement intérieur des valeurs qui croissent avec la vitesse du cylindre tournant, ou le débit dans un même tube, suivant une fonction linéaire ;

4^o Quand on augmente progressivement la vitesse ou le débit, le premier régime se produit seul jusqu’à une certaine limite, le second régime se produit seul au delà d’une autre limite, plus reculée que la première ; entre les deux limites l’accroissement de la résistance est très rapide, les expériences de mesure sont difficiles et parfois discordantes.

27. L’observation de la veine jaillissant d’un tube cylindrique dans l’air va nous révéler ce qui se passe dans cette région troublée.

Un grand manchon cylindrique de verre est mastiqué dans un soubassement de zinc muni d’une tubulure latérale. Un tube de verre de 0^cm,26 de diamètre et 27^cm,8 de longueur est fixé dans cette tubulure à l’aide d’un bouchon. Quand le réservoir est plein jusqu’en haut, la veine qui jaillit du tube est trouble, c’est-à-dire que sa surface, couverte de fines aspérités, réfléchit irrégulièrement la lumière à peu près comme du verre très grossièrement dépoli. En même temps son amplitude, sans présenter de variation brusque, décroît d’une manière lente et continue en même temps que la charge. Mais quand celle-ci devient inférieure à une limite difficile à préciser (75^cm environ), la veine éprouve des soubresauts de plus en plus marqués qui se produisent à des intervalles de temps irréguliers et pendant lesquels la veine devient lisse et se relève au-dessus de sa position habituelle. Ces soubresauts deviennent de plus en plus fréquents à mesure que la charge diminue ; quand elle est d’environ 50^cm, la veine oscille continuellement entre deux positions, qui se partagent le temps à peu près également ; elle est lisse pour la plus grande amplitude, trouble pour la plus petite. La charge diminuant encore, la veine devient habituellement lisse ; elle n’est plus trouble que pendant les soubresauts qui se produisent alors en dessous de la position habituelle, deviennent de plus en plus rares et cessent enfin complètement quand la charge devient inférieure à 35^cm ; à partir de cette limite, la veine est parfaitement lisse et calme. En faisant arriver de l’eau dans le réservoir, de manière à faire remonter lentement le niveau, on reproduit les mêmes phénomènes dans l’ordre inverse.

28. La veine lisse se produit en même temps que le premier régime. En effet, pour les tubes employés dans la première série des expériences décrites plus haut (24), le débit limite inférieur des oscillations de la veine a été trouvé égal à 1^cm,72 par seconde, à la température de 12°,7. Cette limite aurait été reculée à 1^cm,80 environ (35) si l’observation avait été faite la même température de 10°,9 que l’expérience (6) de cette série. On voit que les cinq expériences (1, 5, 4, 2, 6) auxquelles les lois de Poiseuille sont applicables sont exactement celles pour lesquelles on eût observé dans l’air une veine constamment lisse. La même concordance se retrouve dans la seconde série (25), où les cinq expériences (7, 8, 3, 5, 4), conformes aux lois de Poiseuille, sont précisément celles où le débit est inférieur au débit limite inférieur des oscillations de la veine, lequel a été trouvé égal à 3^cm,58 par seconde, à la température de 13°,6, qui est à peu près celle des expériences (4 et 2).

La veine trouble correspond forcément au second régime, et l’alternance observée des deux espèces de veines nous apprend que les deux régimes sont possibles et se succèdent brusquement à différentes reprises, sous l’action de causes qui nous échappent, lorsque le débit est compris entre les limites en dehors desquelles l’un d’eux est seul possible.

Cette alternance irrégulière des deux régimes nous explique maintenant l’instabilité du cylindre suspendu dans les expériences (14) où le nombre de tours s’est trouvé compris entre 56 et 127. Quant aux palpitations du niveau, elles sont dues à la variation du volume de liquide soulevé entre les deux cylindres par la force centrifuge ; car celle-ci, pour une même vitesse du cylindre extérieur, produit des effets différents dans les deux régimes, parce que la distribution des vitesses est elle-même différente (47).

On comprend facilement aussi que, dans les circonstances où les deux régimes sont possibles, les expériences soient difficiles et discordantes.

29. Dans mes expériences sur le second régime, j’ai éliminé l’influence des extrémités des tubes par la méthode décrite plus haut (20) et dont je n’ai démontré tout d’abord la légitimité que pour le premier régime.

Il serait facile de généraliser cette démonstration, si l’on pouvait affirmer que, dans les régions moyennes des tubes, la charge en chaque point conserve une valeur moyenne constante dans le temps en fonction linéaire de la distance du point considéré à une section droite prise pour origine, malgré les variations rapides qu’elle subit par suite des mouvements vibratoires ou tourbillonnaires qui constituent apparemment le second régime. Cette affirmation a priori me paraissant imprudente, j’ai eu recours aux expériences.

J’en ai fait deux séries avec quatre fragments de différentes longueurs, pris dans un même tube de verre ayant pour rayon R=0^cm,2108.

~< ?/ ?:te/’e~e/’t6’(avriti888). ~=69~38, ~=9~77~.

?’. 

A. A’. A". T. P. t. cm cm cm sec gr o ’). 5t,44o 58,753 6~,263 <2o a55) )2,o 2. 45,5o6 6o,5o4 65,826 t8o 5~-83 n,2 3. 3o,()72 6~,327 77,5to 120 5980 fo,3 4. 27,872 64,984 8o,ai8 t2o 6337 [t,a2 S. 15,402 68,214 89,862 120 7724 11,3 6. 42,)84 6),t98 68,678 240 8736 )t,7 7. 49)~38 5(), ?.58 62,964 ~o 6052 T,9 J’)ett3 ;te/Hësc/’t'e(ma !i888). /,=5o~,236, ~=i8’932. 1. 38,564 53,978 63,)2o )8o 6635 t3,3 )J. 38,4fS 54,006 63,276 i8o 667 ; i3,6 fïï. 43,230 53,t9o 59,040 )8o 52)7 13,8 ÏV. 45,262 5a,848 57,256 240 5992 i3,8 V. 44,980 52,83o 57,414 3oo 7612 )3,9 Vi. 33,oo4 54,766 68,02 t5o 6~5 r4,5

!)~ 

V)f. )4,56o 57,760 84,4M ~.o 7767 t4,4 Si la méthode est applicable, les deux séries doivent donner la même relation entre la perte de charge rapportée à Funitë de longueur i et le débit y. Or les expériences des deux séries peuvent enectivcment être représentées par une même formute obtenue par ia méthode de C<ïKC/ C’est elle qui nous a ’tonné les nombres de la troisième colonne du TaDeau suivant : /</)H. de C/t/n ;f</<.Mj’j.. 6’sHrie, l. XX !. (Décembre i.S<)o.) 31 On voudra bien remarquer particulièrement les groupes (iv, 7 et v), (6, i et ii), (5 et vii), qui rendent manifeste la concordance entre les deux séries.

La méthode est donc légitime.

30. En l’appliquant à des tubes de rayons divers, je suis toujours arrivé à une formule de même forme

${\frac {i}{q}}=a+bq,$

où les coefficients $a$ et $b$ varient avec le rayon.

Je rappellerai d’abord les expériences déjà citées (25) sur des tubes de verre de 0^cm,09036 de rayon, et pour lesquelles j’ai établi la formule empirique

$\varepsilon =\alpha +\beta q,\qquad \left\{{\begin{aligned}\alpha &=0,00969,\\\beta &=0,002913.\end{aligned}}\right.$

Pour ces expériences, qui appartiennent au second régime, $\varepsilon$ ne représente plus le coefficient de frottement intérieur, mais simplement (20) la valeur de l’expression ${\tfrac {\pi \mathrm {R} ^{4}}{8q}}{\tfrac {\mathrm {C} _{1}-\mathrm {C} _{2}}{l_{1}-l_{2}}},$ ou encore ${\tfrac {\pi \mathrm {R} ^{4}}{8}}{\tfrac {i}{q}}.$ Nous avons donc

${\frac {\pi \mathrm {R} ^{4}}{8}}{\tfrac {i}{q}}=\alpha +\beta q$

ou

${\frac {i}{q}}=a+bq$

en posant

${\begin{aligned}a&={\tfrac {8\alpha }{\pi \mathrm {R} ^{4}}}=370,1,\\b&={\tfrac {8\beta }{\pi \mathrm {R} ^{4}}}=112,25.\end{aligned}}$

31. Voici maintenant deux autres séries qui, combinées avec les précédentes, peuvent servir dans la recherche des lois suivant lesquelles les coefficients $a$ et $b$ dépendent du rayon. T~K&e~ de T~e/e (avril 1888). R=o~,)3o67, ~=a7’°',798, / :=t4"o6o.

?-. 

h. h’. h’. T. P. <. cm cm cm sec gr o -1 4o,3o8 59,4~ 7’,88~ ~o 1883 9,9 2. ~3,848 88,956 68,~to tao 1651 <o,o 48,3~0 58,3C2 64,642 I20 t3)8 to,3 4. 49 :538 58,t8o 63,692 120 1222 to,o 47 ;o~4 58,55) 65,83o t~o t434 ",3 6. 4~ 59,o84 69,368 120 1708 to,6 7. 40,402 59,434 7t,8o4 )2o 1883 10,8 8. 36,3[o 69,986 75,467 tM 2ti6 9,6 9. 30,03 60,97 81,06 t2o 2435 8,8 tO. 2),62 62,o6 88,68 go 2119 8,8 L - =97,46-t8,3oy.

?*. Ca)cu !c. 4. fo,f8 28~,77 283,8 3. 10,98 305,8 298,4 S. n,9~ 3o9,3 3[G,~ 2. !3,76 349,2 349,3 6. <4,2 ;! 358, ! 357,9 t. 15,69 379,3 38.6 7. )5,C9 38t,t1 384,<) 8. )7,63 4’7,’ 4~0, ! 9. 20,29 479,9 468,8 10. 23,54 526,8 528,2 32. Nous avons employé dans la série suivante, des tubes de cuivre, à cause de la difficulté de trouver des tubes de verre suffisamment cylindriques sur une aussi grande longueur, qui nous était imposée par la nécessité d’avoir des différences de charge mesurables. Ces tubes ont été jaugés à l’eau distillée.

7*M6ex de cuivre (mai 1889). R=o"2969t, /,=i32°*,934, /2=44’398. Lon’gueur remplie. t32"°’,934 Poids de l’eau à t5’6. 36~,78 N-. A. A’. A’. T. P. t. 6. cm cm cm s gr 0 0 ). ~[.Lt’i ?- 7’f66 72,~90 60 723 ’5,7 20,5 2. ~) ;too 72,278 72,752 6o 837 ’5,~i 2t 3. 70,980 7~,296 72,828 ~o 6o8 i5,4 20,5 4. 69,078 72,776 74,346 .3o 8[3 t4,8 f8 5. 67,788 73,124 75,3~2 6o )~2 14,9 )8 6. 62,670 74,364 79,3M 43 2290 14, )8 7. 67.220 73,292 73,763 60 2127 <6,~ )7 8. 63,2~o 74,244 78,834 50 2439 )4,7 r ? 9. 62,340 74,4o3 79,658 4o 2097 16,o 17,5 -10. 58,[6o 75,892 82,978*30 [.)f3 16,t 17,5 -H. 69,648 72,676 73,908 6o t433 <6,2 t8 12. 69,736 72,636 73,798 6o t382 t5,2 18 13. 68,845 72,868 74,528 6o t~f f5,f )8 t4. 39,42 ! 75,090 8),987 3o 1807 [6,7 17 15. 56,o5o 7’),906 84,639.) 40o 2739 i5,3 17 - =4,223-) -0,2704< ?’.

?. 
?

’1. 12, 05 4, 27 Région 2.’4, 62 6, 73 des 3.)5, 2o 7,’7 oscillations. Calculé. 12. 23, 03 Kj, 49 ’o, 43 n.’~3, 88

! 0, 45 

fo, C6 4. ?.7,’7 ’0, 89 13. 27, 85 11, 8’2 n, 73 5. 32, 53 13, 32 f2, 99 7. 35, 45 t4,’2 13, 78 8. 49 ;’8 ’8, 07 i7, 47 6. « 5), oo 18, 36 17, 96 9. 52, 43 18, 05 t8, 35 14. 6o, a3 20, 25 20, 45 10. 63, 77 2t, o3 2t, ot 15. 68, 47 22, 58 22, 67

33. La formule

${\frac {i}{q}}=a+bq$

ou

$i=aq+bq^{2},$

à laquelle nous ont conduit toutes nos expériences sur des tubes d’un diamètre compris entre 0^cm,18 et 0^cm,60, exprime, entre le débit et la perte de charge par unité de longueur, exactement la même loi que la formule donnée par de Prony pour les tuyaux de conduite et vérifée avec une exactitude remarquable par les expériences de Dracy^[25] L’appareil à cylindres nous a donné un résultat semblable. En effet, le moment de torsion $\mathrm {M}$, appliqué au cylindre intérieur et la perte de charge $i$ par unité de longueur constatée dans un tube, mesurent le frottement exercé par le liquide sur paroi. D’autre part, le débit $q$ d’un tube est proportionnel à la vitesse moyenne ${\tfrac {q}{\pi \mathrm {R} ^{2}}}$ de l’eau par rapport à la paroi ; et le nombre $\mathrm {N}$ de tours par minute du cylindre extérieur l’est aussi, au moins approximativement, à la vitesse moyenne du liquide par rapport au cylindre fixe. Une même loi parait donc s’appliquer dans tous les cas au second régime : dans un appareil de dimensions invariables, le frottement exercé sur une paroi fixe est une fonction du second degré de la vitesse moyenne du liquide relativement à cette paroi.

34. Les lois du passage d’un régime à l’autre sont importantes, au point de vue théorique, par la lumière qu’elles peuvent jeter sur le second régime, et, au point de vue pratique, parce qu’il faut en tenir compte dans la discussion des projets d’appareils. Mais, dans leur étude, on ne peut pas espérer une grande précision. En effet, les alternances entre les deux régimes que nous avons signalées montrent que, dans les circonstances où elles se produisent, chacun d’eux est un état d’équilibre dynamique quasi instable, c’est-à-dire stable pour les perturbations inférieures à une certaine limite, instable pour les perturbations plus grandes. Comme d’ailleurs les causes perturbatrices échappent à notre influence et à notre observation, il est rare de trouver deux expériences parfaitement concordantes.

D’après tout ce que nous avons vu jusqu’ici et particulièrement les expériences du paragraphe (29), le second régime se produit dans toute la longueur du tube. Mais la disposition de l’orifice d’entrée paraît avoir une influence importante sur sa production, de même que le mouvement vibratoire de tout l’air d’un tuyau sonore est excité par l’anche. Ainsi quand l’eau coule dans un gros tube terminé par une longue effilure, la veine reste lisse pour des débits bien plus grands que dans un tube de même diamètre que l’effilure et coupé carrément ; elle se trouble ensuite peu à peu sans qu’on observe d’oscillations. D’autre part, avec le mercure, il est presque impossible d’obtenir une veine lisse si le tube est coupé carrément ; on l’obtient au contraire facUement en évasant l’orifice d entrée, et alors les oscillations de la veine et ses changements d’aspects se montrent avec une netteté plus grande encore que pour l’eau. Les expériences suivantes ont été faites sur l’eau à la température ordinaire, avec des tubes coupés carrément. Je réglais la charge de manière que les oscillations fussent très rares, ou je )a diminuais juste assez pour les supprimer, et, dans ces conditions, je mesurais que !ques débits dont je prenais )a valeur moyenne (janvier j88o). J’ai trouvé ainsi les d~ux lois suivantes <° J~e débit /t/Mt<e :/t/6/’te !(/’<9 des oscillations est indépendant de la longueur du <M&< ?. En eiïft, en réduisant successivement la longueur d’un tube de. verre ayant pour rayon o’~°’,iyy8, j’ai obtenu les résultats suivants. Je désigne par 60~ le débit par minuter 6o<y 60<y Moyenne Longueur, (observé). moyenne, générale. cm 86,5. 389-387-387 388 .) 7t,5. 360-369-372-367 367 57,9. 36 ;-365 365 r 377 4 :,8. 392-360 376 25,7. 394-394 394 Les oscillations sont d’autant plus amptes que le tube est plus long ; ce qui est facile à comprendre, quand on pense que le régime et, par suite, la loi de la perte de charge par unité de longueur sont modinés dans le tube tout entier. La longueur étant réduite à io’5, les oscillations n’étaient plus observables. 2° Le débit limite inférieur des o~ct7/<t’o~~ est pro- ~oy’<t0~~e/ au /<ïvo7 : du <</&e.

C’est ce que montre le Tableau que voici R. 60 60 ’7 R. 60 ?. t. 0,0~998. )o3,6 2073 t2,7 o,ogo36. a)4,9 23~8 13,6 o,t3o7. 3/)4 ~63 ?. » o,t778. 377 2121 » o,io8. 5~2 2570 » 0,2762. 701 2538 » o,2969(cuivre).. 6~8 2182 15,o 0,45. !2o5 2678 » Enfin, j’ai constaté sur l’eau et sur le mercure que l’élévation de température abaissait la limite inférieure des oscillations. 1 35. La deuxième toi avait été découverte, dès t883, par ’M. O.t&o/e Reynolds, mais énoncée sous une forme un peu diSérente la vitesse moyenne pour /~<e//e les /OM/’&t//on~ co/nwence/~ est e/ ! raison ~~ey’~e du rayon ~/H tube. j M. 0~’or~te ~e~/ïo~ a étudié avec soin l’influence de la température, qu II a pu exprimer par la loi suivante La vitesse moyenne pour /<fte//e les <OMr~<7/o/M cowfMe / !ceMt ~/<ï~ HM même tube est ~o/ ?o/’ttOM/ ?< ?//e a ; e Le physicien anglais a vériuë cette loi par ses expériences sur l’eau à diverses températures, et, en se fondant .des considérations théoriques, qui me paraissent peu rigoureuses, il la donne comme s’appliquant aussi :) deux liquides différents. Plus généralement, d’après lui, les tourbillons commenceraient lorsque l’expression ${\tfrac {c\rho \mathrm {V} }{\varepsilon }}$ prendrait une valeur déterminée, pour une série donnée d’appareils semblables ; dans cette expression, $c$ est une dimension linéaire de l’appareil, et $\mathrm {V}$ la vitesse en un point du liquide.

Nos expériences sur l’eau, l’air et l’huile, faites avec l’appareil à cylindres, apportent une certaine confirmation à cette loi. En effet, elle se traduit ici par la formule

(1)

${\frac {m}{m'}}={\frac {\left({\frac {\varepsilon }{\rho }}\right)}{\left({\frac {\varepsilon '}{\rho '}}\right)}},$

$m$ et $m'$ représentant les nombres de tours par minute pour lesquels la discontinuité apparaît avec deux fluides différents.

Or, pour l’eau à 16°,7, on a

$\varepsilon '=0,01096,\quad \rho '=1,\quad m'=56\ ;$

pour l’air à 20°, et sous la pression de 76^cm,

$\varepsilon =0,00018,\quad \rho =0,0012.$

La formule (1) donne donc $m=760$ tours ; ce qui s’accorde assez bien avec nos expériences (17).

L’huile ayant une densité peu différente de celle de l’eau et une viscosité près de cent fois plus grande, la discontinuité ne devrait pas se manifester avant 5000 tours ; aussi nous ne l’avons pas rencontrée, avec les vitesses bien plus faibles que nous avons pu réaliser (16).

36. Dès 1800 Coulomb^[26], employant la méthode du disque oscillant, avait observé que la nature du disque Page:Annales de chimie et de physique, série 6, tome 21, 1890.djvu/488 Page:Annales de chimie et de physique, série 6, tome 21, 1890.djvu/489 Page:Annales de chimie et de physique, série 6, tome 21, 1890.djvu/490 Page:Annales de chimie et de physique, série 6, tome 21, 1890.djvu/491 Page:Annales de chimie et de physique, série 6, tome 21, 1890.djvu/492 Page:Annales de chimie et de physique, série 6, tome 21, 1890.djvu/493 Page:Annales de chimie et de physique, série 6, tome 21, 1890.djvu/494 Page:Annales de chimie et de physique, série 6, tome 21, 1890.djvu/495 Page:Annales de chimie et de physique, série 6, tome 21, 1890.djvu/496 Page:Annales de chimie et de physique, série 6, tome 21, 1890.djvu/497 Page:Annales de chimie et de physique, série 6, tome 21, 1890.djvu/498 Page:Annales de chimie et de physique, série 6, tome 21, 1890.djvu/499 Page:Annales de chimie et de physique, série 6, tome 21, 1890.djvu/500 Page:Annales de chimie et de physique, série 6, tome 21, 1890.djvu/501 Page:Annales de chimie et de physique, série 6, tome 21, 1890.djvu/502 Page:Annales de chimie et de physique, série 6, tome 21, 1890.djvu/503 Page:Annales de chimie et de physique, série 6, tome 21, 1890.djvu/504 Page:Annales de chimie et de physique, série 6, tome 21, 1890.djvu/505 Page:Annales de chimie et de physique, série 6, tome 21, 1890.djvu/506 Page:Annales de chimie et de physique, série 6, tome 21, 1890.djvu/507 II. Mesure des coefficients de frottement t/ !<er :eMy. y° L’appareil à cylindres peut donner des valeurs exactes des coefficients de frottement intérieur, pourvu qu’on détermine sa constante par une expérience sur un fluide dont le coefficient soit connu ; mais les difGcuhés de centrage le rendent peu propre aux mesures absolues (12). 8° Dans cet appareil, le frottement est minimum quand le centrage est parfait (6).

Q° Le coefHcient de frottement intérieur de l’air à 20° est o,oooiy<) (i8).

to° Dans l’emploi de la i’Me~ode de Poiseuille, l’influence des extrémités du tube est exprimée par la formule est la charge dépensée à l’entréedu tube pour communiquer au liquide sa force vive ; A est l’allongement fictif qui représente les frottements au voisinage des extrémités (4C).

D’après les expériences calculées dans cette thèse, A est constant pour les faibles débits, et à peu près égal au triple du diamètre du tube (44 et 4S).

n" L’influence des extrémités peut être éliminée par deux procédés différents, outre ceux de O~c~ et de Poiseuille

A. Écoulement simultané et donnant le même débit dans deux tubes de même rayon et de longueurs diuérentes (20) B. Résolution de l’équation en e obtenue en égalant les expressions de A fournies par deux expériences successives faites respectivement avec deux pareils tubes (44). Le premier procédé est applicable aux deux régimes (29) le second ne convient qu’au premier régime. vv··V·1·V1v··v1··V···1VWW

1. Voir ma Notice sur La viscosité des liquides, publiée en 1888 au Bulletin des Sciences physiques.
2. Voir ma Notice, p. 14 du tirage à part, 62 du Bulletin.
3. Mémoires des Savants étrangers, t. ix ; 1846.
4. Ibid., t.xv, p. 215 et 354.
5. Proceedings of the Royal Society of London, t. xxxv, p. 84.
6. Transactions of the Cambridge Society, t. viii, p. 292.
7. Mémoire inédit, 15 février 1847, et Comptes rendus, t. lxxiv.
8. Essai sur la théorie des eaux courantes, p. 621.
9. Mémoires de l’Académie des Sciences, t. vi.
10. On peut aussi, par un changement de notations, déduire ces équations des formules plus générales données par M. BOUSSINESQ (Essai sur la théorie des eaux courantes, p. 634).
11. Voir ma Notice, p. 22-130
12. Ibid., p. 17-125
13. Calcul de l'intégral
    $\int _{0}^{2\pi }{\frac {d\theta }{1+m\cos \theta }}.$
    On pose
    ${\textrm {tang}}{\frac {\theta }{2}}={\sqrt {\frac {1+m}{1-m}}}{\textrm {tang}}\varphi ,$

    
    $\theta$ variant de 0 à $2\pi ,$ $\varphi$ varie de 0 à $\pi \ ;$

    $\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}={\frac {1}{1+{\textrm {tang}}^{2}{\frac {\theta }{2}}}}={\frac {\left(1-m\right)\cos ^{2}\varphi }{\left(1-m\right)\cos ^{2}\varphi +(1+m)\sin ^{2}\varphi }},$
    $d\theta ={\sqrt {\frac {1+m}{1-m}}}{\frac {2\cos ^{2}{\frac {\theta }{2}}d\varphi }{\cos ^{2}\varphi }}={\frac {2{\sqrt {1-m^{2}}}d\varphi }{(1-m)\cos ^{2}\varphi +(1+m)\sin ^{2}\varphi }},$
    $1+m\cos \theta ={\frac {1-m^{2}}{(1-m)\cos ^{2}\varphi +(1+m)\sin ^{2}\varphi }},$
    $\int _{0}^{2\pi }{\frac {d\theta }{1+m\cos \theta }}=\int ^{\pi }{\frac {2d\varphi }{\sqrt {1-m^{2}}}}={\frac {2\pi }{\sqrt {1-m^{2}}}}.$
14. Cette correction paraît avoir beaucoup moins d’importance dans le second régime que dans le premier (25).
15. Comptes rendus du 6 août 1888.
16. Phil. Transact.
17. Pogg. Ann.,t. cxliii.
18. Pogg. Ann.,t. cxlviii.
19. Pogg. Ann.,t. clv.
20. Wied. Ann., t. vii, p. 503.
21. Wied. Ann., t. xxiii, p. 374.
22. Voir ma Notice, p. 29-205.
23. Voir ma Notice, p. 32-208.
24. Girard avait déjà fait une remarque équivalente.
25. Mémoire des Savants étrangers, t. xv.
26. Mém. de l’Inst. nation., t. iii